ディリクレのイータ関数

ディリクレのイータ関数

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使用目的: リーマンゼータ関数の計算
ご意見・ご感想: η(−∞)の場合η(s)=(1−2^(1−s))ζ(s)は成り立たない。この関係式が成り立つかどうかを判断するには、s→−∞の極限での各項の振る舞いを調べます。まず、(1−2^(1−s))の項を見ると、s→−∞のとき、1−sは限りなく大きくなるため、2^(1−s)は無限大に発散します。したがって、(1−2^(1−s))は−∞に発散します。次に、リーマンゼータ関数ζ(s)のs→−∞での振る舞いですが、これは一般的に発散します。負の偶数点で0になるような特殊なケースもありますが、s→−∞という連続的な極限においては、ζ(s)は有限な値に収束しません。これらの振る舞いを考慮すると、s→−∞のとき、関係式の右辺である(1−2^(1−s))ζ(s)は、−∞に発散する項と、一般的に発散する項の積となります。結果として、この積は有限な値に収束することはありません。つまり、この関係式が特定の有限な値として成立することはない、ということです。したがって、両辺が有限の値として等しいという関係が成立しないため、η(−∞)の場合η(s)=(1−2^(1−s))ζ(s)は成り立ちません。

ご意見・ご感想: η(-∞)の場合η(s)＝(1-2^-s)ζ(s)は成り立たないと言える。
根拠は
η(-∞)/ζ(-∞)=-∞とする。
η(-∞)=1-∞+∞…と続き
ζ(-∞)＝1-∞+∞…/(1-2^1+∞)=1-∞+∞…/-∞
η(-∞)=0 又は 1 又は -∞
ζ(-∞)=0 又は 2 又は ∞
よってη(-∞)≠(1-2^1+∞)ζ(-∞)は成り立つ。

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ディリクレのイータ関数 η(x)と 1-η(x)の値を計算します。