Impedance Converter (Matching Circuit)

Matching Z1 to Z2
using series R1 and parallel R2

+R1+-+
Z1 R2 Z2
g g g

Z1 = R1+R2//Z2 = R1+R2*Z2/(R2+Z2)
Z1*(R2+Z2) = R1*(R2+Z2) + R2*Z2
Z1*Z2 + R2*Z1 = R1*R2 + R1*Z2 + R2*Z2

Z2 = R2 // (R1 + Z1) = R2 * (R1 + Z1) / (R1 + R2 + Z1)
Z2*(R1+R2+Z1) = R2*(R1+Z1)
Z1*Z2+R1*Z2+R2*Z2 = R1*R2+R2*Z1

Z1*Z2 + R2*Z1 = R1*R2 + R1*Z2 + R2*Z2
Z1*Z2 + R1*Z2 + R2*Z2 = R1*R2 + R2*Z1

Add the left side to the right side
2*Z1*Z2 + R1*Z2 + R2*Z2 + R2*Z1 = 2*R1*R2 + R1*Z2 + R2*Z2 + R2*Z1

Cancel out the equal terms
2*Z1*Z2 = 2*R1*R2
Z1*Z2 = R1*R2

R2 = Z1*Z2/R1
R1 = Z1*Z2/R2

Z1*Z2 + R2*Z1 = R1*R2 + R1*Z2 + R2*Z2
R2*Z1 = R1*Z2 + R2*Z2
R2*(Z1 - Z2) = R1*Z2
R1 = R2 * (Z1 - Z2) / Z2
R1 = Z1 * Z2 / R1 * (Z1 - Z2) / Z2
R1^2 = Z1 * (Z1 - Z2)
R1 = sqrt(Z1 * (Z1 - Z2))
R1 = Z1 * sqrt(1 - Z2/Z1)

R2 = Z1 * Z2 / R1
R2 = (Z1 * Z2) / (Z1 * sqrt(1 - Z2/Z1))
R2 = Z2 / sqrt(1 - Z2/Z1)

R1 = Z1 * sqrt(1 - Z2/Z1)
R1 = 75 * sqrt(1 - 50/75) = 43.30127 ohms

R2 = Z2 / sqrt(1 - Z2/Z1)
R2 = 50 / sqrt(1 - 50/75) = 86.60254 ohms

Vout/Vin = (R2 // Z2) / Z1
Iout/Iin = (R2 // Z2)/Z2
Pout/Pin = (Vout/Vin) * (Iout/Iin) = (R2 // Z2)² / (Z1 * Z2)
Pout/Pin = (Z2/(1+sqrt(1-Z2/Z1)))^2/(Z1*Z2)
Pout/Pin = Z2^2/(1+sqrt(1-Z2/Z1))^2/(Z1*Z2)
Pout/Pin = (Z2/Z1)/(1+sqrt(1-Z2/Z1))^2
Pout/Pin = 1/(sqrt(Z1/Z2)+sqrt((Z1/Z2)-1))^2
Loss_dB = 20*log(sqrt(Z1/Z2)+sqrt((Z1/Z2)-1))
Loss_dB = 20*log(sqrt(75/50)+sqrt((75/50)-1)) = 5.719475 dB