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혼합 로그 정규 분포

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혼합 로그 정규 분포의 확률 변수 x를 주어, 확률 밀도 함수 f(x), 하측 누적 확률 P(x), 상측 누적 확률 Q(x)를 구합니다.
혼성 로그 정규 분포(hybrid lognormal distribution)는 변환된 확률변수 hyb(ρx)=ρx+ln(ρx)가 정규 분포를 따르는 분포이며, ρ는 강도 매개변수입니다.
확률변수 x
x≧0
강도 매개변수 ρ
ρ＞0
ρx+ln(ρx)의 평균 μ
ρx+ln(ρx)의 표준편차 σ
σ＞0
\(\normalsize Hybrid\ Lognormal\ distribution\ HybLogN(\rho x,\mu,\sigma)\\ (1) probability\ density\\ \hspace{30px}f(x,\mu,\sigma)= {\large\frac{\rho}{\sqrt{2\pi}\sigma}(1+\frac{1}{\rho x})e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\rho x+ \ln(\rho x)-\mu}{\sigma}\right)^2}}\\ (2) lower\ cumulative\ distribution\\ \hspace{30px}P(x,\mu,\sigma)={\large\int_{\small 0}^{\small x}}f(t,\mu,\sigma)dt\\ (3) upper\ cumulative\ distribution\\ \hspace{30px}Q(x,\mu,\sigma)={\large\int_{\small x}^{\small\infty}}f(t,\mu,\sigma)dt\\ (4)\ median:\ x_c={\large \frac{hyb^{-1}(\mu)}{\rho}}\\ \hspace{90px} hyb(\rho x)=\rho x+ \ln(\rho x)=y\\ \hspace{90px} \rho x=hyb^{-1}(y)=cyb(y)\\ \)

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