가우스-야코비 적분법의 분점과 가중치
가우스-야코비 수치 적분의 분점(nodes)과 가중치(weights)를 계산합니다.
| \(\normalsize Gauss-Jacobi\ quadrature\\ {\large\int_{\small -1}^{\small 1}}(1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta}f(x)dx\simeq{\large\displaystyle \sum_{\small i=1}^{n}}w_{i}f(x_i)\\ \ nodes\hspace{30px} x_i:\ the\ i-th\ zeros\ of\ J_n^{\alpha,\beta}(x)\\ \ weights\\ \hspace{15px} w_i=-{\normalsize\frac{(2n+\alpha+\beta+2)\Gamma(n+\alpha+1)\Gamma(n+\beta+1)2^{\alpha+\beta}}{(n+\alpha+\beta+1)\Gamma(n+\alpha+\beta+1)(n+1)!P_n^{'}(x_i)P_{n+1}(x_i)}}\\ \hspace{15px} {\large \frac{w_i}{w(x_i)}}={\large \frac{w_i}{(1-x_i)^{\alpha}(1+x_i)^{\beta}}}\\\) |
| \(\normalsize Gaussian\ quadrature\\ \hspace{10px} {\large\int_{\small a}^{\small b}}w(x)f(x)dx\simeq{\large\displaystyle \sum_{\small i=1}^{n}}w_{i}f(x_i), \ {\large\int_{\small a}^{\small b}}g(x)dx\simeq{\large\displaystyle \sum_{\small i=1}^{n}}{\large\frac{w_{i}}{w(x_i)}}g(x_i)\\Gauss-Jacobi\ quadrature\\ \hspace{30px} interval(a,b):\hspace{20px} (-1,\ 1)\\ \hspace{30px} w(x):\hspace{80px} (1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta}\\ \hspace{30px} polynomialsl:\hspace{10px} J_n^{\alpha,\beta} (x)\\ \) |
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