완충액의 pH 변화 (약산 + 강염기)

계산 상세
강산을 첨가한 만큼 산 농도 Ca가 증가하고 염 농도 Cb가 감소한 것으로 간주한다.
강염기를 첨가한 만큼 염 농도 Cb가 증가하고 산 농도 Ca가 감소한 것으로 간주한다.

● 근사 해
Cb는 완전히 이온화된다.
Ca는 이온화되지 않는다.

평형: 10^(-pKa)=[A-][H+]/[AH]
10^(-pKa)=Cb[H+]/Ca
[H+]=10^(-pKa)(Ca/Cb)
pH=pKa+log(Cb/Ca)

●수치 해
Cb는 완전히 이온화된다.
Ca 중 a의 비율만큼 이온화되었다고 가정한다.

평형: 10^(-pKa)=[A-][H+]/[AH]
10^(-pKa)=(Cb+aCa)[H+]/(1-a)Ca
전하 수지: [H+] + [Na+] = [OH-] + [A-]
[H+] + Cb = Kw/[H+] + Cb + aCa
[H+] - Kw/[H+] = aCa
Ca - [H+] + Kw/[H+] = (1 - a)Ca
이를 합치면
10^(-pKa) = (Cb + [H+] - Kw/[H+])[H+] / (Ca - [H+] + Kw/[H+])
10^(-pKa)=(Cb[H+]+[H+]²-Kw)[H+]/(Ca[H+]-[H+]²+Kw)
0=(Cb[H+]+[H+]²-Kw)[H+]-10⁻^(pKa)(Ca[H+]-[H+]²+Kw)
0=x^3+x^2(Cb+10^(-pKa))+x(-Kw-10^(-pKa)Ca)-10^(-pKa)Kw
가 된다.
이하 뉴턴법. x의 변화가 x의 절대값의 10^(-10)배 미만이 된 시점에서 계산이 중단되었다.

완충 작용이 무너졌을 때에 대해
C=Ca+Cb
불필요한 강산의 농도를 C'라고 한다
전하 수지: [H+] = [OH-] + [A-] + [Cl-]
[H+] = Kw/[H+] + aC + C'
a = ([H+] - Kw/[H+] - C')/C

10^(-pKa)=[A-][H+]/[AH]
10^(-pKa)=a[H+]/(1-a)
10^(-pKa)(1-a)=a[H+]

10^(-pKa)=a([H+]+10^(-pKa))
a=10^(-pKa)/([H+]+10^(-pKa))=([H+]-Kw/[H+]-C')/C
10^(-pKa)C=([H+]-Kw/[H+]-C')([H+]+10^(-pKa))
10^(-pKa)C[H+]=([H+]²-Kw-C'[H+])([H+]+10^(-pKa))
0 = x³ + x²(10^(-pKa) - C') + x(-10^(-pKa)C - 10^(-pKa)C' - Kw) - 10^(-pKa)Kw
C + C' = Ca
-C' = Cb
로 대입하면 되므로, 특별한 처리는 필요하지 않다.