최대·최소 문제 예시(원 및 가로로 누운 포물선)

자리수 표시 설정 06자리. 자리수 변경 가능. 실수 계산 모드.
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형식상 연립방정식 문제이지만,
변수를 제거하거나 삼각함수를 이용해 생각하는 등의 작업은
물론 필요 없으므로 수행하지 않습니다.
도형적으로는 원점을 중심으로 하는 원과 옆으로 누운 포물선의 교점이 핵심이므로,
결국 원의 반지름이 실수인 조건으로 귀결됩니다(원주 위에 교점이 있으니까요).
반지름을 r이라고 하면
y^2=r^2-x^2
y=±√(r^2-x^2)
y는 실수 범위이므로, 제곱근 안은 r²-x²≧0,
x²≦r²이며, 이차 부등식의 해의 공식으로 정리하면
-r≦x≦+r입니다. y도 마찬가지입니다(원점을 중심으로 하는 원이기 때문입니다).

문제에서는 a=r²으로 되어 있고, a는 음수가 아니라고 했으므로
+r이 k의 최대값, -r이 k의 최소값입니다.
x+y²=k를 x=~로 변형하여 y의 2차 함수 형태로 생각하면,
k는 정점의 x좌표가 됩니다. 정점은 x좌표축 위에 있습니다.