龙贝格积分（递推表）

使用龙贝格积分法计算有限区间（a,b）的积分，并求得递推表。

构建应用理查德森外推的龙贝格递推表，该表是龙贝格积分的计算过程。
最后一个对角元素即为所求积分值的最佳解。

\(I={\large\int_a^{b}}f(x)dx=R_{\small n}^{\small\ k}+O((\frac{b-a}{2^n})^{\small 2k+2})\\ \hspace{10px} R_{\small 0}^{\small\ 0}\\ \hspace{10px} R_{\small 1}^{\small\ 0}\hspace{30px} R_{\small 1}^{\small\ 1}\\ \hspace{10px} \cdots\hspace{40px} \cdots\hspace{30px} \ddots \\ \hspace{10px} R_{\small n-1}^{\small\ 0}\hspace{15px} R_{\small n-1}^{\small\ 1}\hspace{15px} \cdots \hspace{10px} R_{\small n-1}^{\small\ n-1}\\ \hspace{10px} R_{\small n}^{\small\ 0}\hspace{30px} R_{\small n}^{\small\ 1}\hspace{30px} \cdots \hspace{10px} R_{\small n}^{\small\ n-1}\hspace{20px} R_{\small n}^{\small\ n}\\ \)

随着n的增加，龙贝格积分的值逐渐收敛。
分割数从2、4、8、16、...、 N=2ⁿ，并按倍增方式进行计算。
当端点不具有解析性时，可通过中点法求得。例如 sin(x)/x, [0.π/2]
对于周期函数，可通过非线性变换求得。例如 (cos(64x))^2, [0,π]

\(\normalsize Romberg\ integration\\ (1)\ Trapezoidal\ rule\\ \hspace{10px} R_{\small 0}^{\small\ 0}= {\large\frac{h_0}{2}}\{f(a)+f(b)\}, \hspace{20px}h_0=b-a\\ \hspace{8px} R_{\small n}^{\small\ 0}= {\large\frac{R_{\small n-1}^{\small\ 0}}{2}}+h_n{\large \displaystyle \sum_{\tiny j=1}^{\small 2^{n-1}}}f(a+(2j-1)h_n)\\ \hspace{190px}h_n={\large\frac{b-a}{2^n}}\\ (2)\ Midpoint\ rule\\ \hspace{10px} R_{\small 0}^{\small\ 0}= h_0f(a+{\large\frac{h_0}{2}}),\hspace{20px}h_0=b-a\\ \hspace{10px} R_{\small n}^{\small\ 0}= h_n{\large \displaystyle \sum_{\tiny j=1}^{\small 2^n}}f(a+(j-\frac{1}{2})h_n), \hspace{15px}h_n={\large\frac{b-a}{2^n}}\\ (3)\ R_{\small n}^{\small\ k}= {\large\frac{4^{\small k} R_{\small n}^{\small\ k-1}-R_{\small n-1}^{\small\ k-1}}{4^{\small k}-1}}\\ (4)\ Relative\ Error\hspace{30px} \epsilon_{\small n}=\left|\frac{R_{\small n}^{\small\ n}-R_{\small n-1}^{\small\ n-1}}{R_{\small n}^{\small\ n}}\right|\\ Non-linear\ substitution\ in\ x\\ \hspace{25px} I={\large\int_a^{b}}f(x)dx\ ={\large\int_{\small-1}^{\small1}}f(x)\ \frac{b-a}{2}\ \frac{3(1-u^2)}{2}du\\ \hspace{100px}x=\frac{b-a}{2}t+\frac{b+a}{2},\hspace{20px}t=\frac{u}{2}(3-u^2)\)

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