圓周率計算（算術幾何平均）
使用算術幾何平均（AGM公式）計算圓周率π。
當上一次與本次的數值相等時，程式即結束。增加運算位數可提升π的精度。
1976年，薩拉明與布倫特發現，若使用高斯公式(1809)，圓周率能以極快的速度達到二次收斂。
這種收斂特性表現為：隨著迴圈次數增加，精度位數會以 5 位、10 位、20 位的方式成倍增長。
1976年，薩拉明與布倫特發現，若使用高斯公式(1809)，圓周率能以極快的速度達到二次收斂。
這種收斂特性表現為：隨著迴圈次數增加，精度位數會以 5 位、10 位、20 位的方式成倍增長。
| \(\normalsize Gauss-Legendre\ method\ 1809\\ \hspace{80px}\pi={\large\frac{2\hspace{1px}{\rm AGM}^2\left(1,{\large\frac{1}{\sqrt{2}}}\right)}{1-{\large\displaystyle \sum_{\small k=0}^{\small \infty}}2^kc_k^2}}\\\\ The\ Square\ {\rm AGM}\\ \hspace{80px} by\ \ Salamin\ \&\ Brent,\ 1976\\ (1)\ a_0=1,\hspace{20px}b_0={\large\frac{1}{\sqrt{2}}},\hspace{20px}t_0={\large\frac{1}{4}}\\ (2)\ a_{n+1}={\large\frac{1}{2}}(a_n+b_n),\hspace{20px}b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n},\\ \hspace{50px}t_{n+1}=t_n-2^n(a_n-a_{n+1})^2\\ (3)\ \pi=\displaystyle \lim_{n\to\infty}{\large\frac{(a_n+b_n)^2}{4t_n}}\\ \normalsize The\ Quartic\ {\rm AGM}\ by\ J.M.\ Borwein\\ \hspace{120px} \&\ P.B.\ Borwein,\ 1985\\ (1)\ y_0=\sqrt{2}-1,\hspace{20px}a_0=6-4\sqrt{2}\\ (2)\ y_{n}={\large\frac{1-\sqrt[4]{1-y_{n-1}^4}}{1+\sqrt[4]{1-y_{n-1}^4}}},\\ \hspace{10px}a_{n}=(1+y_{n})^4a_{n-1}-2^{2n+1}y_{n}(1+y_{n}+y_{n}^2)\\ (3)\ \pi={\large\displaystyle \lim_{\small n \to\infty}\frac{1}{a_n}}\\ \) |
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