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keisan服務於日常生活和工作的高精度計算網站

使用方法

TOP/使用方法

keisan 的特色

1. 可以變更計算位數。

(位數透過「計算位數」設定進行設定)

設定結果
計算位數 6√5 =sqrt(5) =2.23607
計算位數 14√5 =sqrt(5) =2.2360679774998
環境結果
keisan(0.9-0.3*3) =0
Excel(0.9-0.3*3) =1.11022E-16(二進位-十進位轉換誤差)

2. 自動判定正確的精度位數。

設定結果
計算位數 61-0.999876 =1.24000E-4
計算位數 10gamma(3.5) =3.323350970

3. 支援複數、統計函數、特殊函數及表格計算。

類型範例
[將 計算位數 設為 6]
複數(1+i)^(1+i) =0.273957+0.583701i
誤差函數x =0.1 erf(x) =0.112463
表格計算sqrt(x) x =2,1,5

表格計算結果

xsqrt(x)
21.41421
31.73205
42
52.23607
62.44949
sqrt(x) 圖形,x=2..6

4. 可以使用公式庫。

公式名稱內容
三角形面積 (a,b,c)s=(a+b+c)/2; a=3; b=4; c=5; sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))

公式語法規則

1. 數值

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, .(小數點), E(指數), i(虛數), +, -

輸入範例說明
12340.56789等同於 1.234056789E4
E2100
1.23E+412300 — E+ 中的 + 為指數符號,可以省略
1.23E-40.000123 — E- 中的 - 為指數符號,不能省略
i0+1i
E+2i0+100i
1.23+4.56i建議將複數用括號括起來
1.23E3+4.56E2i1230+456i
1.23E-3-4.56E+2i0.00123-456i

注意:指數部分請使用大寫 E。(小寫 e 為自然對數的底數)

2. 變數

必須以字母或漢字開頭,後接字母、數字或漢字。 不能使用特殊符號和保留字。

分類範例
變數名稱範例a, sinx, a3 等
無效範例e, i, inf, sin, E 及其他保留字
無效範例#abc, 3abc, ab_c 等

3. 函數

由函數名稱和一個或多個用括號括起來的引數組成。 多個引數以逗號(",")分隔。 引數可以是數值、變數、函數或運算式。

範例:sin(x) normalcd(x,μ,2) normalcd(x+y,ln(12),σ)

不帶引數的常數不使用括號。

範例:pi inf e

4. 運算子

運算子包括 + , - , * , / , ^ , ! , = , 用於指定數值、變數和函數等元素之間的運算。

範例說明
element1 + element2element1 加 element2
element1 - element2element1 減 element2
element1 * element2element1 乘以 element2(* 可以省略)
element1 / element2element1 除以 element2
element1 ^ element2element1 的 element2 次方
element1 !element1 的階乘(單元素運算)
element1 = element2將 element2 的結果賦值給 element1。因此 element1 必須是變數。

5. 運算式

運算式是透過將元素(數值、變數、函數)與運算子組合而成。 運算式可以作為元素,進一步與運算子組合。 運算順序遵循下方的「運算優先順序」部分。 範例:element1 + element2 - element3 * element4 / element5 ^ element6 ! + ...

6. 其他

負號(-)被視為二元運算子,但在指數表示法中除外。 然而,在運算式的開頭、左括號或逗號之後,它被視為正負號。

範例:-a+b → (0-a)+b -a^b → 0-(a^b) a^-b → 錯誤 a^(-b) → a^(0-b) a*b;-a*b → a*b;0-(a*b) a*-b → 錯誤

可以使用空格使運算式更易閱讀。

運算優先順序

  1. 優先順序較高的運算子會先進行運算。
  2. 相同優先順序的運算子從左到右進行運算。*例外:乘冪運算子(^)從右到左進行運算。
  3. 括號內的運算式會先進行運算。
  4. 巢狀括號中,最內層的括號會先進行運算。

運算子類型與優先順序

優先順序運算子意義
高 ↑函數內建函數
!!, !, ^雙階乘、階乘、乘冪
*, /乘法、除法
+, -加法、減法
↓ 低=賦值

運算式表示法的常見錯誤

省略括號時的運算順序

運算式解釋說明
2+3*4→2+(3*4)乘法的優先順序高於加法
3*4^5→3*(4^5)乘冪的優先順序高於乘法
sin(2)^3→(sin(2))^3函數的優先順序高於乘冪
1/2i→1/(2i)虛數單位優先
3!!!→(3!!)!雙階乘的優先順序高於階乘

省略乘號的運算式

運算式結果說明
3a○作為 3*a 計算
a3×a3 是變數名稱
a(b+c)×不是 a*(b+c);a 被視為使用者定義函數
(a+b)(b+c)○作為 (a+b)*(b+c) 計算

數值、運算子與常數

數值

類型範例保留字
數字12345678900-9
小數點0.123.
正負號-123, +456+,-
指數1.23E-45E
虛數2+3ii

運算子

類型範例保留字
加法x+y+
減法x-y-
乘法x*y*
除法x/y/
乘冪x^y^
階乘n!!
雙階乘n!!!!
賦值a=123=

多重運算式

類型範例保留字
運算式分隔符a=2+3; b=4/7;

常數

類型值保留字
自然對數的底數e =2.71828...e
無窮大∞inf
圓周率π =3.14159..pi
尤拉常數γ =0.5772...euler
真true =1true
假false =0false

初等函數

對數與指數函數

函數符號保留字
平方根√sqrt(x)
常用對數loglog(x)
自然對數lnln(x)
指數函數e^xe^x
冪函數x^yx^y

三角函數

函數符號保留字
正弦sinsin(x)
餘弦coscos(x)
正切tantan(x)
反正弦sin⁻¹asin(x)
反餘弦cos⁻¹acos(x)
反正切tan⁻¹atan(x)

雙曲函數

函數符號保留字
雙曲正弦sinhsinh(x)
雙曲餘弦coshcosh(x)
雙曲正切tanhtanh(x)
反雙曲正弦sinh⁻¹asinh(x)
反雙曲餘弦cosh⁻¹acosh(x)
反雙曲正切tanh⁻¹atanh(x)

組合與排列

函數符號保留字
組合nCrcombination(n,r)
排列nPrpermutation(n,r)
階乘x!x!
雙階乘x!!x!!

數值函數(實數)

函數範例保留字
小於等於 x 的最大整數int(4.2) =4, int(-4.2) =-5int(x)
大於等於 x 的最小整數ceiling(4.2) =5, ceiling(-4.2) =-4ceiling(x)
整數部分IP(4.2) =4, IP(-4.2) =-4IP(x)
小數部分FP(4.2) =0.2, FP(-4.2) =-0.2FP(x)
x 除以 y 的餘數mod(9,5) =4, mod(-9,5) =1mod(x,y)
y*FP(x/y)remainder(9,5) =4, remainder(-9,5) =-4remainder(x,y)
四捨五入round(2.35,1) =2.4, round(-2.35,1) =-2.4round(x,n)
無條件捨去rounddown(2.34,1) =2.3, rounddown(-2.34,1) =-2.4rounddown(x,n)
無條件進位roundup(2.34,1) =2.4, roundup(-2.34,1) =-2.3roundup(x,n)
IP(x*10^n)/10^ntruncate(2.34,1) =2.3, truncate(-2.34,1) =-2.3truncate(x,n)
隨機實數[0,1] 範圍內的隨機小數random_f()
隨機實數[a,b] 範圍內的隨機小數random_f(a,b)
隨機整數[a,b] 範圍內的隨機整數random_i(a,b)

數值函數(複數)

函數說明保留字
符號sign(z) =1,0,-1sign(z)
共軛複數x+iy → x-iyconjugate(z)
實部x+iy → xRe(z)
虛部x+iy → ylm(z)
絕對值|z| =|re^(iθ)| =rabs(z)
幅角re^(iθ) → θargument(z)
直角座標轉換re^(iθ) → x+iycartesian(z)
直角座標轉換(r,θ) → x+iycartesian(r,θ)
極座標轉換x+iy → re^(iθ)polar(z)
極座標轉換(x,y) → re^(iθ)polar(x,y)

最大值與最小值

函數範例保留字
最大值(最多 20 個引數)max(1,2,3,4) = 4max(a,b,c,d,...)
最小值(最多 20 個引數)min(1,2,3,4) = 1min(a,b,c,d,...)

統計函數

連續分佈函數(Q:上累積機率、f:機率密度、x:百分位數、λ:非中心參數)

函數保留字
標準常態分佈Q: normalcd(x) f: normalpd(x) x: normalicd(Q)
常態分佈Q: normalcd(x,μ,σ) f: normalpd(x,μ,σ) x: normalicd(Q,μ,σ)
對數常態分佈Q: lognormalcd(x,μ,σ) f: lognormalpd(x,μ,σ) x: lognormalicd(Q,μ,σ)
卡方分佈Q: chi2cd(x,ν) f: chi2pd(x,ν) x: chi2icd(Q,ν)
學生 t 分佈Q: tcd(x,ν) f: tpd(x,ν) x: ticd(Q,ν)
F 分佈Q: fcd(x,ν1,ν2) f: fpd(x,ν1,ν2) x: ficd(Q,ν1,ν2)
非中心卡方分佈Q: ncchi2cd(x,ν,λ) f: ncchi2pd(x,ν,λ) x: ncchi2icd(Q,ν,λ) λ: ncchi2il(P,x,ν)
非中心 t 分佈Q: nctcd(x,ν,λ) f: nctpd(x,ν,λ) x: ncticd(Q,ν,λ) λ: nctil(Q,x,ν)
非中心 F 分佈Q: ncfcd(x,ν1,ν2,λ) f: ncfpd(x,ν1,ν2,λ) x: ncficd(Q,ν1,ν2,λ) λ: ncfil(Q,x,ν1,ν2)
均勻分佈Q: uniformcd(x,a,b) f: uniformpd(x,a,b) x: uniformicd(Q,a,b)
指數分佈Q: exponentialcd(x,b) f: exponentialpd(x,b) x: exponentialicd(Q,b)
韋伯分佈Q: weibullcd(x,a,b) f: weibullpd(x,a,b) x: weibullicd(Q,a,b)
伽瑪分佈Q: gammacd(x,a,b) f: gammapd(x,a,b) x: gammaicd(Q,a,b)
貝塔分佈Q: betacd(x,a,b) f: betapd(x,a,b) x: betaicd(Q,a,b)
拉普拉斯分佈Q: laplacecd(x,a,b) f: laplacepd(x,a,b) x: laplaceicd(Q,a,b)
柯西分佈Q: cauchycd(x,a,b) f: cauchypd(x,a,b) x: cauchyicd(Q,a,b)
邏輯分佈Q: logisticcd(x,α,β) f: logisticpd(x,α,β) x: logisticicd(Q,α,β)
帕累托分佈Q: paretocd(x,xm,α) f: paretopd(x,xm,α) x: paretoicd(Q,xm,α)
廣義帕累托分佈Q: gparetocd(x,μ,σ,ξ) f: gparetopd(x,μ,σ,ξ) x: gparetoicd(Q,μ,σ,ξ)
列維分佈Q: levycd(x,μ,c) f: levypd(x,μ,c) x: levyicd(Q,μ,c)

注意:若需要下累積機率 P,請在保留字後加上「lower」。範例:P=normalcdlower(x), x=normalicdlower(P)

離散分佈函數(Q:上累積機率、f:機率密度、x:百分位數、λ:非中心參數)

函數保留字
泊松分佈Q: poissoncd(x,λ) f: poissonpd(x,λ) x: poissonicd(Q,λ) λ: poissonil(Q,x)
二項分佈Q: binomialcd(x,n,p) f: binomialpd(x,n,p) x: binomialicd(Q,n,p)
負二項分佈Q: negbinomialcd(x,k,p) f: negbinomialpd(x,k,p) x: negbinomialicd(Q,k,p)
幾何分佈Q: geometriccd(x,p) f: geometricpd(x,p) x: geometricicd(Q,p)
超幾何分佈Q: hypgeometriccd(x,n,M,N) f: hypgeometricpd(x,n,M,N)

注意:若需要下累積機率 P,請在保留字後加上「lower」。範例:P=poissoncdlower(x,λ), x=poissonicdlower(P,λ), λ=poissonillower(P,x)

貝塞爾函數

貝塞爾函數(f(x), f'(x), f⁻¹(0) s=1,2,.., f'⁻¹(0) s=1,2..)

函數符號保留字
第一類貝塞爾函數Jν(x)besselj(ν,x) besseljdf(ν,x) besseljzeros(ν,s) besseljdfzeros(ν,s)
第二類貝塞爾函數Yν(x)bessely(ν,x) besselydf(ν,x) besselyzeros(ν,s) besselydfseros(ν,s)
第一類修正貝塞爾函數Iν(x)besseli(ν,x) besselidf(ν,x)
第二類修正貝塞爾函數Kν(x)besselk(ν,x) besselkdf(ν,x)
第一類漢克爾函數H⁽¹⁾ν(x)hankelH1(ν,x) hankelH1df(ν,x)
第二類漢克爾函數H⁽²⁾ν(x)hankelH2(ν,x) hankelH2df(ν,x)

球面貝塞爾函數

函數符號保留字
第一類球面貝塞爾函數jν(x)sphericalbesselj(ν,x) spherical besseljdf(ν,x) spherical besseljzeros(ν,s) spherical besseljdfzeros(ν,s)
第二類球面貝塞爾函數yν(x)sphericalbessely(ν,x) sphericalbesselyjdf(ν,x) sphericalbesselyzeros(ν,s) sphericalbesselydfzeros(ν,s)
第一類修正球面貝塞爾函數iν(x)sphericalbesseli(ν,x) sphericalbesselidf(ν,x)
第二類修正球面貝塞爾函數kν(x)sphericalbesselk(ν,x) sphericalbesselkdf(ν,x)
第一類球面漢克爾函數h⁽¹⁾ν(x)sphericalhankelH1(ν,x) sphericalhankelH1df(ν,x)
第二類球面漢克爾函數h⁽²⁾ν(x)sphericalhankelH2(ν,x) sphericalhankelH2df(ν,x)

艾里函數(f(x), f'(x), f⁻¹(0) s=1,2,.., f'⁻¹(0) s=1,2..)

函數符號保留字
艾里函數Ai(x)airyai(x) airyaidf(x) airyaizeros(s) airyaidfzeros(s)
艾里函數Bi(x)airybi(x) airybidf(x) airybizeros(s) airybidfzeros(s)

開爾文函數(f(x), f'(x))

函數符號保留字
第一類開爾文函數berν(x)ber(ν,x) berdf(ν,x)
第一類開爾文函數beiν(x)bei(ν,x) beidf(ν,x)
第二類開爾文函數kerν(x)ker(ν,x) kerdf(ν,x)
第二類開爾文函數keiν(x)kei(ν,x) keidf(ν,x)
第三類開爾文函數herν(x)her(ν,x) herdf(ν,x)
第三類開爾文函數heiν(x)hei(ν,x) heidf(ν,x)

特殊函數

伽瑪函數

函數符號保留字
伽瑪函數Γ(a)gamma(a)
下不完全伽瑪函數γ(a,x)igamma1(a,x)
上不完全伽瑪函數Γ(a,x)igamma2(a,x), gamma(a,x)
正則化下伽瑪函數γ(a,x)/Γ(a)gammap(a,x)
正則化上伽瑪函數Γ(a,x)/Γ(a)gammaq(a,x)
對數伽瑪函數lnΓ(a)lngamma(a)
雙伽瑪函數Ψ(a)polygamma(a)
多伽瑪函數Ψ⁽ⁿ⁾(a)polygamma(n,a)
雙階乘x!!x!!
波赫哈默爾函數(x)npochhammer(x,n)

貝塔函數

函數符號保留字
貝塔函數B(a,b)beta(a,b)
不完全貝塔函數Ix(a,b)y: ibeta(x,a,b) x: ibetaix(y,a,b)
不完全貝塔函數I₁₋ₓ(a,b)y: ibetac(x,a,b) x: ibetacix(y,a,b)

誤差函數

函數符號保留字
誤差函數erf(x)y: erf(x) x: erfix(y)
互補誤差函數erfc(x)y: erfc(x) x: erfcix(y)
虛誤差函數erfi(x)y: erfi(x)

初等函數積分與菲涅爾積分

函數符號保留字
指數積分Ei(x)Ei(x)
指數積分En(x)Ei(n,x)
對數積分li(x)li(x)
正弦積分Si(x)Si(x)
餘弦積分Ci(x)Ci(x)
雙曲正弦積分Shi(x)Shi(x)
雙曲餘弦積分Chi(x)Chi(x)
菲涅爾正弦積分S(x)fresnelS(x)
菲涅爾餘弦積分C(x)fresnelC(x)

橢圓積分與橢圓函數

函數符號保留字
第一類完全橢圓積分K(k)ellipticK(k)
第二類完全橢圓積分E(k)ellipticE(k)
第三類完全橢圓積分Π(n,k)ellipticPi(n,k)
第一類不完全橢圓積分F(x,k)ellipticF(x,k)
第二類不完全橢圓積分E(x,k)ellipticE(x,k)
第三類不完全橢圓積分Π(x,n,k)ellipticPi(x,n,k)
雅可比 sn 函數sn(u)jacobiSN(u,k)
雅可比 cn 函數cn(u)jacobiCN(u,k)
雅可比 dn 函數dn(u)jacobiDN(u,k)
振幅函數am(u)jacobiAM(u,k)

正交多項式

函數符號保留字
埃爾米特多項式Hn(x)hermiteH(n,x)
第一類切比雪夫多項式Tn(x)chebyshevT(n,x)
第二類切比雪夫多項式Un(x)chebyshevU(n,x)
勒讓德多項式Pn(x)legendreP(n,x)
伴隨勒讓德多項式Pn(m,x)legendreP(n,m,x)
拉蓋爾多項式Ln(x)laguerreL(n,x)
伴隨拉蓋爾多項式Ln(α,x)laguerreL(n,α,x)
蓋根鮑爾多項式Cn(λ,x)gegenbauerC(n,λ,x)
雅可比多項式Pn(α,β,x)jacobiP(n,α,β,x)

其他特殊函數

函數符號保留字
合流超幾何函數1F1(a;b;x)F11(a,b,x)
合流超幾何函數U(a;b;x)FU11(a,b,x)
高斯超幾何函數2F1(a,b;c;x)F21(a,b,c,x)
伯努利數Bnbernoulli(n)
黎曼 zeta 函數ζ(x)zeta(x)

程式設計

專為數值計算設計的簡易類 C 程式設計系統。

流程控制語句

保留字說明
if(condition){expr;...} elseif(condition){expr;...} else{expr;...}如果 if 條件為真,則執行該區塊。 如果為假,則類似地評估 elseif 條件。 執行匹配的區塊後退出 if 語句。
while(condition){expr;...}如果條件為真,則執行該區塊。 重複執行直到條件變為假。
do{expr;...} while(condition);無條件執行該區塊。 如果條件為真,再次執行;如果為假,則退出。
for(variable=initial; condition; variable=variable+step) {expr;...}初始化變數,如果條件為真則執行該區塊。 遞增變數並在條件為真時重複;條件為假時退出。
break無條件退出迴圈
continue無條件返回迴圈開頭

輸出語句

保留字說明
print(expr1,expr2,...)輸出運算式
println(expr1,expr2,...)輸出運算式並換行
/*comment*/不影響計算或控制流程

邏輯運算子與值

分類保留字說明
邏輯運算子not優先順序:not > and > or
邏輯運算子and
邏輯運算子or
邏輯運算子==左運算式等於右運算式
邏輯運算子<>左運算式不等於右運算式
邏輯運算子=<, <=左運算式小於等於右運算式
邏輯運算子=>, >=左運算式大於等於右運算式
邏輯運算子<左運算式小於右運算式
邏輯運算子>左運算式大於右運算式
邏輯值truetrue=1 (≠0)
邏輯值falsefalse=0

陣列

保留字說明範例
numeric arrayname[size]; numeric arrayname[size][size]; numeric arrayname[size][size][size]; ....宣告陣列。numeric test1[4]; numeric test2[4][4]; numeric test3[4][4][4];
numeric arrayname[] = {val1,val2,...}; numeric arrayname[][] = {{....},{....}}; ....宣告並初始化陣列。numeric test1[] = {1,2,3}; numeric test2[][] = {{1,2,3},{4,5,6}}; numeric test3[][][] = {{{1,2},{3,4}},{{5,6},{7,8}}};
kei_length(a)取得陣列的元素數量。numeric test[4]; n = kei_length(test);
function funcname(numeric k[]){...}將陣列指定為函數引數。numeric test[]={0,1,2,3}; func1(test); function func1(numeric k[]) { print(k[0]); ..... }