勒讓德函數
計算勒讓德函數 Pν(z) 與 Qν(z)。變數 z 支援複數輸入。
| \(\normalsize P_\nu(z)={}_{\small 2}F_{\small 1} (-\nu,\nu+1;\ 1;\frac{1-z}{2})\\ Q_\nu(z)={\large\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\nu+1)} {(2z)^{\nu+1}} \frac{{}_{\ \small 2}F_{\small 1} (\frac{\nu+1}{2},\frac{\nu}{2}+1;\nu+\frac{3}{2};\frac{1}{z^2})}{\Gamma(\nu+\frac{3}{2}) }}\\\) |
| Pν(z) | |
| Qν(z) |
| \(\normalsize Legendre\ Polinomial\ P_\nu(z),\ Q_\nu(z)\\ (1)\ (1-z^2)y''-2zy'+\nu(\nu+1)y=0\\ \hspace{25px}y=P_\nu(z),\ y=Q_\nu(z)\\ (2)\ P_\nu(z)={}_{\small 2}F_{\small 1} (-\nu,\nu+1;\ 1;\frac{1-z}{2})\\ \hspace{15px}Q_\nu(z)={\large\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\nu+1)} {(2z)^{\nu+1}} \frac{{}_{\ \small 2}F_{\small 1} (\frac{\nu+1}{2},\frac{\nu}{2}+1;\nu+\frac{3}{2};\frac{1}{z^2})}{\Gamma(\nu+\frac{3}{2}) }}\\\) |
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