Advanced Math

Calculating Pi (Gauss–Legendre’s Arithmetic-Geometric Mean Method)

筑波大学の高橋さんらが達成した2兆5769億8037万桁までの円周率計算に使われていたアルゴリズムであるAGM法（ガウス・ルジャンドルアルゴリズム、算術幾何平均法）を確認します。 a0=1,b0=1/√2,t0=1/4,p0=1を初期値として、 an+1 = (an + bn) / 2 bn+1 = √(anbn) tn+1 = tn - pn * (an+1 - an)^2 pn+1 = 2*pn として、 π≒(an + bn)^2 / (4*tn) で計算しています。

Calculating Pi (Ramanujan and Chudnovsky)

円周率を計算する公式として知られている、ラマヌジャンの公式とチュドノフスキー兄弟の公式を比較します。 どちらも極めて早く収束する公式としてしられています。

GCJ 2008 - R1A - C

高精度計算を利用して、 Google Code Jam 2008 - Round 1A - Problem C. Numbers http://code.google.com/codejam/contest/dashboard?c=32016#s=p2 を力技で解いてみます。 n = 69 までは整数部の精度が保証されているので、 Small dataset（2 ≦ n ≦ 30）はこれで通過できるのかもしれません。

Dirichlet's theta function

ディリクレのイータ関数です。

Minimal Solutions to the Perel equation

ペル方程式（Pell's equation） X^2 - N・Y^2 = ±1　の最小整数解(X,Y)と一つ大きい解を求めます。 ここでNは平方数でない正の整数です。

Poisson random numbers

ポアソン分布 P(X=n) = exp(-λ)λ^n / n! に従う乱数を生成します。

Twin primes

差が2であるような2つの素数を双子素数と言います。この双子素数を計算します。

Searching for Lychrel numbers

56をひっくり返して65にして、足すと121のように回文数になります。このような操作を繰り返して、例えば57→57+75=132→132+231=363で2回で回文数に、89は24回で、10911は55回で回文数になります。何回繰り返しても回文にならないのがLychrel numbersです。196が最小の候補。

Solving Quintic Equations (Complex Numbers)

5次方程式をDKA法により計算します。係数は複素数も使えます。

Solving Sixth-Degree Equations (Complex Numbers)

6次方程式をDKA法で計算します。係数は複素数も使えます。

Solutions to nth-degree equations (complex numbers, where n is up to 20)

n次方程式、a(n)*x^n +a(n-1)*x^(n-1)+...+a1*x+a0 = 0をDKA法で計算します。 nは最大20までです。20より下の次数を計算するときは、不要な高次の 係数は0にしておいてください。係数は複素数も使えます。

Approximate fractions of positive real numbers

Stern-Brocot木を探索し、与えられた正実数の近似分数を求めます。

Arithmetic Operations on Quaternions

四元数

The Pellin sequence (numbers that remain the same when squared; numbers that go on to infinity)

天に向かって続く数（加藤文元さん、中井保行さん著）に出てくるペレリマン数列（2乗するともとにもどる数）の計算です。

Number of Divisions (From the movie "The Formula Given by a Miracle")

分割数p(n)は、自然数nを順序問わず自然数の和（自分含む）として何種類で表せるか？というものです。 ラマヌジャンとハーディの映画、奇蹟がくれた数式で大きく取り上げられていたので、その公開記念として 厳密な分割数p(n)とラマヌジャン・ハーディの漸近公式を計算します。nは250までです。

Jesus Guillera's formula for calculating pi (π)

Jesús Guilleraさんがとんでもなく早く収束する円周率Πの公式を見つけています。試してみましょう。 ラマヌジャンの公式とチュドノフスキー兄弟の公式とも比べると面白いかも。

Solve a four-variable ordinary differential equation using the Runge-Kutta method (four-stage, fourth-order)

dx/dt=f1(x,y,z,w,t) dy/dt=f2(x,y,z,w,t) dz/dt=f3(x,y,z,w,t) dw/dt=f4(x,y,z,w,t) という4変数の常微分方程式をルンゲクッタ法（4段4次）で計算します。

The Newton-Raphson method for two variables

2変数のニュートン・ラフソン法を使って、f(x,y)=0, g(x,y)=0 を満たすx,yを計算します。 ∂f／∂x 、∂f／∂y、∂g／∂x、∂g／∂yも必要です。

Euler's phi function (tangent function)

正の整数 n に対して、1 から n までの自然数のうち n と互いに素なものの個数をφ(n)と書き、オイラーのφ関数またはトーシェント関数と言います。

Lambert's W-function (kth solution)

ランベルトのW関数は z=w*exp(w)の逆関数 w=W(z)です。主要解の他に第k解まで計算できます。 主要解の場合はk=0としてください。

Calculation of Fourier series

フーリエ級数を計算します。関数f(x)（範囲は-L<=x<=L,　周期2L)を入力して係数を積分で求めます。

Ackermann function Ack(m,n)

アッカーマン関数Ack(m,n)を計算します。mが大きくなるとものすごい巨大数になることが知られています。 残念ながらm=4,n=2までしか計算できません、、、（このサイトで扱える限界）

Determining the Number of Common Elements (Tannell's Theorem)

合同数は、辺の長さがすべて有理数である直角三角形の面積のことですが、 その判定をします。判定したい数は平方因子を持たない（n=q*k^2と書けない）としてください。 タネルの定理（Tunnell's theorem)を使って判定しています。

Approximation ratios for open intervals of real numbers

与えられた正実数開区間の近似分数を探索します。

Lagrange interpolation (up to 11 points)

x座標が全て異なるn+1点を通るn次の多項式をラグランジュ補間で求めます。 入力する点は、nが11より小さくて不要な場合でも0を入れておいてください。

Trigonometric Tables and Large Graphs

三角関数 sin(x)とcos(x)とtan(x)の表とグラフ

Liouville's Theorem: The Sum of the Squares of the Divisors of a Sum Equals the Sum of the Cubes of the Divisors of That Sum

Fermat's Libraryで出ていた以下を確認します。 Liouville proved the following property of the divisors of the divisors of a number: 1) Start with a number (e.g. 10) 2) Write down its divisors (1,2,5,10) 3) Write down the number of divisors of each divisor (1,2,2,4) 4) (1+2+2+4)²=81=1³+2³+2³+4³

Area of a spherical triangle

球面三角形の面積を求める計算ができます。

The graph of 1/(1+x²) (for x ∈ [0,1]) and a circle

y=1／(1+x^2) と、円の方程式　のx=[0,1]区間の積分値はどちらも、π/4（1/4円)となり、等しくなります

Values of any number of digits of pi (by Simon Plouffe)

Simon Plouffeさんが”A formula for the nth decimal digit or binary of π and powers of π”という論文で円周率πの任意の桁の値を計算する公式を出しています。これを確認します。ただこのサイトでは50桁までが限界です。

Generating Arbitrary Pythagorean Triples

入力１と入力２を指定することにより任意のピタゴラス数を生成します。ただし、m>nはでなくてはいけません。

Generating Arbitrary Pythagorean Triples (All Patterns)

ピタゴラス数を表に表示

How many zeros are there at the end of n!?

n!の末尾に0がいくつあるか

Prime Number Test!

素数判定

A New Formula for Pi Derived from String Theory

インドの弦理論の研究者Arnab Priya SahaさんとAninda Sinhaさんが論文Field Theory Expansions of String Theory Amplitudesの中で新しい円周率の公式を編み出しました。それを確認します。

Rational Approximations of Real Numbers

実数の有理数近似

Second-order square matrices, real symmetric matrices, Newton approximation

2次正方行列が実対称行列であるときの数値的対角化です。 2次正方行列であり、対称行列なので、「絶対値が最大の非対角要素」を探索する手順が省けるので作業はシンプルになります。 また、『cos2θとsin2θ』の一次式に直すと周期も圧縮され二分法による区間発見と短縮も良くなります。 小さくした区間内でニュートン近似します。 精度は区間分割数を毎回100、区間の幅を0.1^15、ニュートン近似では0.1^20に落してあります。

Multiply a 2D vector by a rotation matrix.

２次ベクトルに回転行列を掛ける計算をします。 A,Bは２次元ベクトルであるとします。 Rは２次正方行列であり、回転行列です。 B=R*Aを計算します。

The product of three 2×2 matrices

2次正方行列の三つの積を計算します。 三つの2次正方行列A,B,Cの積を AB=A*B ABC=(A*B)*C と計算し、結果を出力します。(左に右を掛けます。)

Calculating quadratic expressions using 2x2 matrices

2次正方行列xでの、2次式の計算をします。 2次正方行列による多項式を考えます。 2次正方行列xについての2次の整式です。 式の形式をy=aL*x*x*aR + bL*x*bR + cとします。 (*は行列同士の積の記号、+は行列同士の和。 積は左の行列に右の行列を順に掛けます。) aL,aR,bL,bR,c,x,yは全て2次正方行列です。

Multiply a 2×2 square matrix by a rotation matrix.

2次正方行列に回転行列を掛ける計算をします。 2次正方行列Aを回転行列Pの逆行列Qに右から掛け行列QAを計算し、 次に回転行列PをQAに右から掛け、QAPを計算します。 Pの要素は(Qの右の数字は行番号・列番号)、 P11=cosθ P12=-sinθ P21=sinθ P22=cosθ とします(θはラジアン)。

Calculating Cubic Expressions for 2x2 Square Matrices

2次正方行列の3次式を計算します。 y,x,aL,aR,bL,bR,cL,cR,dは2次正方行列とします。 式の形式を y=aL*x*x*x*aR + bL*x*x*bR + cL*x*cR + d とします。 「普通の数」のxについての3次式y=ax^3+bx^2+cx+dを真似しています。 L,Rはxのべきに対して左、右の位置を意味します。 *は行列同士の積で、左の行列に右の行列を掛けます。 複数の*結合は順次、左に対して右を掛けて行く事に成ります。 最後に各項を足します。

Calculate the coefficients and solutions of the characteristic equation of a 2x2 square matrix.

2次正方行列の固有方程式を計算します。 固有方程式の係数を表示します。 固有方程式は2次方程式ですが、判別式Dの値を計算します。 また、判別式の平方根の値を表示します。 固有方程式の解を出力します。 重解のときも解を２つ表示します。判別式の値が0であれば重解です。

The product of three 3×3 matrices

3次正方行列の三つの積を計算します。 三つの3次正方行列A,B,Cの積を AB=A*B ABC=(A*B)*C と計算し、結果を出力します。(左に右を掛けます。)

Performing calculations related to 3x3 matrices. Part 5

3次正方行列に関連した計算をします。 3次正方行列の固有方程式の係数書き出しと、解の計算を行います。 固有方程式の形式をa(λ^3)+b(λ^2)+cλ+d=0とします。 (1)3次正方行列の固有方程式の係数を求めます。 (2)λの最高次数(3)の係数(-1)で各係数を割った処理をし、表示します。 (3)固有方程式の近似解を表示します。 (4)検算として式に近似解を代入した結果等を表示します。 (5)係数b,c,dが整数のとき因数定理を使い、解が見つかった場合には結果を表示します。

Calculate the square root of a 2x2 square matrix.

２次正方行列の平方根を計算します。 ある２次正方行列Mが与えられたとき、M=X^2を満たす２次正方行列Xを求めます。ここではXをMの平方根(2乗根)と呼ぶことにします。普通の数のルート(根号記号√)に当たる演算を考えることになります。

We will perform calculations related to 3x3 square matrices. Part 4.

３次の正方行列に関連した計算をします。 1)固有方程式の係数を出力します。固有方程式の形式はk0λ^3+k1λ^2+k3λ+k4=0とします。 2)小行列式の値を計算します。 3)余因子の値を計算します。 4)余因数行列を計算します。 5)サラスの図により行列式の値を計算します。 6)サラスの図により計算した行列式の値が0でなければ逆数を計算します。

We will perform calculations related to 4x4 matrices.

４次正方行列に関連した計算をします。 ここでは小行列式の値、余因子、余因数行列を計算します。 また、参考に入力した４次正方行列の行列式の値とその逆数を出力します。

Vector Normalization (2-Dimensional)

二次元ベクトルを単位ベクトルに規格化(正規化)します。 規格化前のベクトルvの要素をv1,v2とします。 ベクトルの大きさをrとします。 規格後のベクトルuの要素をu1,u2とします。

Calculate the product of three 4×4 matrices.

4次正方行列3個の積を計算します。 三つの4次正方行列A,B,Cを考え、まずAB=A*Bを計算し、次にABC=ABC=AB*Cを計算します。 AB,ABCも4次正方行列です。結果であるABCを出力します。(*は行列の積)

Calculate the determinant of a 2×2 matrix. (The elements are complex fractions.)

２行２列行列式の計算をします。 ここでは複素数の分数が要素である場合を扱います。 aは1行目1列目の要素とします。 bは1行目2列目の要素とします。 cは2行目1列目の要素とします。 dは2行目2列目の要素とします。 入力ではa,b,c,dは分数であるとして入力します。 a,b,c,dの分母には0でない数値を入力します。 a,b,c,dの分子・分母とも複素数の範囲で入力します。

Vector Normalization (3-Dimensional)

三次元ベクトルを規格化(正規化)します。 規格化するベクトルvの成分をv1,v2,v3とします。 vの大きさをrとします。 規格化したベクトルuの成分をu1,u2,u3とします。

Vector Normalization (4-Dimensional)

四次元ベクトルを規格化(正規化)します。 規格化するベクトルvの成分をv1,v2,v3,v4とします。 vの大きさをrとします。 規格化したベクトルuの成分をu1,u2,u3,u4とします。

Calculate the coefficients of the characteristic equation (cubic). (Fractions, complex numbers)

３次固有方程式(特性方程式)の係数を計算します。 ３次正方行列での固有値問題を考えるので ３行３列の行列式からの固有方程式導出となります。 ３次固有方程式の形式を -(λ^3)+m*(λ^2)+n*(λ^1)+定数項とします。 最高次数(λ^3)項の係数は-1のままとします。 (λ^2)項の係数、(λ^1)項の係数、定数項を計算し出力します。 固有方程式の形式は展開した後の形で表示します。

Prime Number Generation (Mills' Constant)

任意の自然数ｎを入力してください。

Prime Number Counting (Wilson's Theorem)

任意の自然数nを入力してください。 16以上の数は対応しておりません。

If you want to derive a prime number generation formula (Wilson's Theorem)...

a

Vertex of a quadratic function

2次関数の頂点を求めます。

Compute the scalar triple product.

スカラー三重積の計算をします。 xyz空間座標系を右手系で考えます。 ベクトルbとcの外積をbcとします。 aとbcの内積を計算し、スカラー三重積の値を求めます。

The Law of Cosines - Math I

a,b,cosの値を用いてcの値を求めます

Diagonalization of a 3×3 symmetric matrix

実対称行列について数値的対角化法を行います。 ここでは３次正方行列の実対称行列を対角化します。

The value of cosθ in the dot product of vectors.

ベクトルa,bの内積の、余弦cosθの値を計算します。

The value of the cosine cosθ of a vector's dot product (3-dimensional vector)

二つのベクトルa,bの内積の余弦cosθの値を計算します。

Coefficients of a fourth-degree polynomial

4次固有多項式の係数導出をします。 式の形式をk4*λ^4+k3*λ^3+k2*λ^2+k1*λ+k0 とします。

Calculating the direction cosine of a vector

３次元ベクトルの方向余弦を計算します。 ベクトルをaとします。始点は原点です。

The orthogonal projection of a vector onto a line passing through the origin

ベクトルの正射影の計算をします。

Volume and Surface Area of an n-Dimensional Sphere

n次元球体の体積の一般化です

Derivation of the Coefficients of the Characteristic Equation (5th Order)

固有方程式の係数導出を行います。 ここでは五次正方行列の場合を扱います。 (五次の特性方程式)

Calculate the nth power of a quaternion.

四元数のn乗を計算します。 式の形式をq=a+bi+cj+dk, y=q^nとします。 i,j,kは各虚数単位です。 a,b,c,dは実部・各虚部です。

We will perform quaternion calculations.

四元数の計算をします。 ２つの四元数Q1とQ2の絶対値、逆元、積Q1Q2,Q2Q1を計算します。

Levi-Civita's symbol (3 letters)

レヴィ・チヴィタの記号の値を表示します。 ここではεとします。 数字のセットを{1,2,3}とします。 添字i,j,kによるセット{i,j,k}へ置換されるとき、 偶置換か、奇置換か、その他か、で値が変わります。 εの値とi,j,kを並べて列挙します。

Levi-Civita notation (4 characters)

レヴィ・チヴィタの記号の値を表示します。 ここではεとします。 数字のセットを{1,2,3,4}とします。 添字t1,t2,t3,t4によるセット{t1,t2,t3,t4}へ置換されるとき、 偶置換か、奇置換か、その他か、で値が変わります。 εの値とt1,t2,t3,t4を並べて列挙します。 但し、ε=+1,-1の場合だけ表に出力し、ε=0の組み合わせは省略します。

Levi-Civita notation (5 characters)

レヴィ・チヴィタの記号の値を表示します。 ここではεとします。 数字のセットを{1,2,3,4,5}とします。 添字t1,t2,t3,t4によるセット{t1,t2,t3,t4,t5}へ置換されるとき、 偶置換か、奇置換か、その他か、で値が変わります。 εの値とt1,t2,t3,t4,t5を並べて列挙します。 但し、ε=+1,-1の場合だけ表に出力し、ε=0の組み合わせは省略します。

Sign and Indices of a Determinant (3rd Order)

行列式展開時の符号と添字を出力します。 三次の場合です。 整頓したものは「サラスの公式」として知られています。 符号と要素の添字n・σ(n)を列挙します。 n=1,2,3です。

Sign and Indices of a Determinant (4th Order)

行列式展開時の符号と添字を出力します。 四次の場合です。 符号と要素の添字n・σ(n)を列挙します。 n=1,2,3,4です。

Sign and Indices of a Determinant (5th Order)

行列式展開時の符号と添字を出力します。 五次の場合です。 符号と要素の添字n・σ(n)を列挙します。 n=1,2,3,4,5です。

Calculating Linear Expressions Using Quaternions

四元数による一次式の値を計算します。 式の形式を y=aL*x*aR+b とします(*は積の記号)。 y,x,aL,aR,bは四元数です。 積は左に対して右を掛けて行きます。

Calculating Quadratic Expressions Using Quaternions

四元数による二次式の値を計算します。 式の形式を y=(aL*x*x*aR)+(bL*x*bR)+c とします(*は積の記号)。 y,x,aL,aR,bは四元数です。 積は左に対して右を掛けて行きます。

Calculating Cubic Polynomials Using Quaternions

四元数による三次式の値を計算します。 Lnはx^nの左側の係数です。 Rnはx^nの右側の係数です。 Mは定数項です。 積は左に対し右を掛けて行きます。 各n次項では、Lnにxを右からn回掛け、さらに右からRnを掛けます。 最後に定数項も含めて和算を行います。 これを多項式の値として出力します。

Calculate the product of two octonions.

八元数の積を計算します。 二つの八元数a,bの積の計算です。

sinc function

1. 定義と役割sinc（シンク）関数は、\(\frac{\sin (x)}{x}\) で定義される関数です。通信理論や信号処理（サンプリング定理）において、波形を滑らかに補完するために不可欠な数式です。 2. プログラムの要点 0除算の回避: \(x=0\) のとき、数式上は \(\frac{0}{0}\) となり計算不能（エラー）になります。極限値の採用: 数学的に \(\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sin (x)}{x}=1\) であるため、コード内では if 文を使って \(x=0\) のときに強制的に \(1\) を返すように制御しています。 3. 挙動 \(x=0\) で最大値 \(1\) をとります。\(x\) が離れるにつれ、波打ちながら \(0\) に収束していきます。

Dilogarithm (Double logarithm function) *Real numbers only (x ≤ 1)

Dilogarithm(二重対数関数)の値を計算します。 x∈(-∞,1]で計算可能です。 x>1ではLi(2,x)は実数にはならず、実装していないので、エラーとして0が返ります。

Output of Gamma Function Tables

ガンマ関数の数値表を出力します。 複素平面をイメージしてください。 ガンマ関数への入力数値sは複素平面の線分上から行います。 始点となる点Pの複素数の実部は、0でない正の数値であるとします。 終点となる点Qの複素数の実部も、0でない正の数値であるとします。 線分をn等分し、始点を第０番目、終点をn番目の入力として、 ガンマ関数の数値を計算します。 出力形式は表形式です。