高等数学

圆周率的计算（高斯-卢贾安德尔的算术几何平均法）

筑波大学の高橋さんらが達成した2兆5769億8037万桁までの円周率計算に使われていたアルゴリズムであるAGM法（ガウス・ルジャンドルアルゴリズム、算術幾何平均法）を確認します。 a0=1,b0=1/√2,t0=1/4,p0=1を初期値として、 an+1 = (an + bn) / 2 bn+1 = √(anbn) tn+1 = tn - pn * (an+1 - an)^2 pn+1 = 2*pn として、 π≒(an + bn)^2 / (4*tn) で計算しています。

圆周率的计算（拉马努詹与楚德诺夫斯基）

円周率を計算する公式として知られている、ラマヌジャンの公式とチュドノフスキー兄弟の公式を比較します。 どちらも極めて早く収束する公式としてしられています。

GCJ 2008 - R1A - C

高精度計算を利用して、 Google Code Jam 2008 - Round 1A - Problem C. Numbers http://code.google.com/codejam/contest/dashboard?c=32016#s=p2 を力技で解いてみます。 n = 69 までは整数部の精度が保証されているので、 Small dataset（2 ≦ n ≦ 30）はこれで通過できるのかもしれません。

狄利克雷的η函数

ディリクレのイータ関数です。

佩尔方程的极小解

ペル方程式（Pell's equation） X^2 - N・Y^2 = ±1　の最小整数解(X,Y)と一つ大きい解を求めます。 ここでNは平方数でない正の整数です。

泊松随机数

ポアソン分布 P(X=n) = exp(-λ)λ^n / n! に従う乱数を生成します。

孪生素数

差が2であるような2つの素数を双子素数と言います。この双子素数を計算します。

寻找Lychrel数

56をひっくり返して65にして、足すと121のように回文数になります。このような操作を繰り返して、例えば57→57+75=132→132+231=363で2回で回文数に、89は24回で、10911は55回で回文数になります。何回繰り返しても回文にならないのがLychrel numbersです。196が最小の候補。

五次方程式的求解（复数）

5次方程式をDKA法により計算します。係数は複素数も使えます。

六次方程式的计算（复数）

6次方程式をDKA法で計算します。係数は複素数も使えます。

n次方程式的解（复数，n≤20）

n次方程式、a(n)*x^n +a(n-1)*x^(n-1)+...+a1*x+a0 = 0をDKA法で計算します。 nは最大20までです。20より下の次数を計算するときは、不要な高次の 係数は0にしておいてください。係数は複素数も使えます。

正实数的近似分数

Stern-Brocot木を探索し、与えられた正実数の近似分数を求めます。

四元数的四则运算

四元数

佩雷利曼数列（平方后仍为原数的数　向天延伸的数）

天に向かって続く数（加藤文元さん、中井保行さん著）に出てくるペレリマン数列（2乗するともとにもどる数）の計算です。

分段数（电影：《奇迹赐予的公式》）

分割数p(n)は、自然数nを順序問わず自然数の和（自分含む）として何種類で表せるか？というものです。 ラマヌジャンとハーディの映画、奇蹟がくれた数式で大きく取り上げられていたので、その公開記念として 厳密な分割数p(n)とラマヌジャン・ハーディの漸近公式を計算します。nは250までです。

赫苏斯·吉列拉的圆周率Π计算公式

Jesús Guilleraさんがとんでもなく早く収束する円周率Πの公式を見つけています。試してみましょう。 ラマヌジャンの公式とチュドノフスキー兄弟の公式とも比べると面白いかも。

使用龙格-库塔法（4阶4步）求解四元常微分方程

dx/dt=f1(x,y,z,w,t) dy/dt=f2(x,y,z,w,t) dz/dt=f3(x,y,z,w,t) dw/dt=f4(x,y,z,w,t) という4変数の常微分方程式をルンゲクッタ法（4段4次）で計算します。

二元牛顿-拉夫森法

2変数のニュートン・ラフソン法を使って、f(x,y)=0, g(x,y)=0 を満たすx,yを計算します。 ∂f／∂x 、∂f／∂y、∂g／∂x、∂g／∂yも必要です。

欧拉φ函数（托森特函数）

正の整数 n に対して、1 から n までの自然数のうち n と互いに素なものの個数をφ(n)と書き、オイラーのφ関数またはトーシェント関数と言います。

兰伯特W函数（第k解）

ランベルトのW関数は z=w*exp(w)の逆関数 w=W(z)です。主要解の他に第k解まで計算できます。 主要解の場合はk=0としてください。

傅里叶级数的计算

フーリエ級数を計算します。関数f(x)（範囲は-L<=x<=L,　周期2L)を入力して係数を積分で求めます。

阿克曼函数 Ack(m,n)

アッカーマン関数Ack(m,n)を計算します。mが大きくなるとものすごい巨大数になることが知られています。 残念ながらm=4,n=2までしか計算できません、、、（このサイトで扱える限界）

并集的判定（塔内尔定理）

合同数は、辺の長さがすべて有理数である直角三角形の面積のことですが、 その判定をします。判定したい数は平方因子を持たない（n=q*k^2と書けない）としてください。 タネルの定理（Tunnell's theorem)を使って判定しています。

实数开区间的近似分数

与えられた正実数開区間の近似分数を探索します。

拉格朗日插值（最多11个点）

x座標が全て異なるn+1点を通るn次の多項式をラグランジュ補間で求めます。 入力する点は、nが11より小さくて不要な場合でも0を入れておいてください。

三角函数表与大型图表

三角関数 sin(x)とcos(x)とtan(x)の表とグラフ

关于利奥维尔数因子的因子的个数的平方和等于立方和定理

Fermat's Libraryで出ていた以下を確認します。 Liouville proved the following property of the divisors of the divisors of a number: 1) Start with a number (e.g. 10) 2) Write down its divisors (1,2,5,10) 3) Write down the number of divisors of each divisor (1,2,2,4) 4) (1+2+2+4)²=81=1³+2³+2³+4³

球面三角形的面积

球面三角形の面積を求める計算ができます。

1／(1+x^2) (x=[0,1]) 的图形与圆

y=1／(1+x^2) と、円の方程式　のx=[0,1]区間の積分値はどちらも、π/4（1/4円)となり、等しくなります

圆周率π的任意位数值（由Simon Plouffe提供）

Simon Plouffeさんが”A formula for the nth decimal digit or binary of π and powers of π”という論文で円周率πの任意の桁の値を計算する公式を出しています。これを確認します。ただこのサイトでは50桁までが限界です。

生成任意毕达哥拉斯数

入力１と入力２を指定することにより任意のピタゴラス数を生成します。ただし、m>nはでなくてはいけません。

生成任意毕达哥拉斯数（所有模式）

ピタゴラス数を表に表示

n!的末尾有多少个0

n!の末尾に0がいくつあるか

素数判断！

素数判定

源自弦理论的新圆周率公式

インドの弦理論の研究者Arnab Priya SahaさんとAninda Sinhaさんが論文Field Theory Expansions of String Theory Amplitudesの中で新しい円周率の公式を編み出しました。それを確認します。

实数的有理数逼近

実数の有理数近似

二阶方阵·实对称·牛顿近似

2次正方行列が実対称行列であるときの数値的対角化です。 2次正方行列であり、対称行列なので、「絶対値が最大の非対角要素」を探索する手順が省けるので作業はシンプルになります。 また、『cos2θとsin2θ』の一次式に直すと周期も圧縮され二分法による区間発見と短縮も良くなります。 小さくした区間内でニュートン近似します。 精度は区間分割数を毎回100、区間の幅を0.1^15、ニュートン近似では0.1^20に落してあります。

对二维向量应用旋转矩阵。

２次ベクトルに回転行列を掛ける計算をします。 A,Bは２次元ベクトルであるとします。 Rは２次正方行列であり、回転行列です。 B=R*Aを計算します。

三个二阶方阵的乘积

2次正方行列の三つの積を計算します。 三つの2次正方行列A,B,Cの積を AB=A*B ABC=(A*B)*C と計算し、結果を出力します。(左に右を掛けます。)

二阶矩阵中的二次式计算

2次正方行列xでの、2次式の計算をします。 2次正方行列による多項式を考えます。 2次正方行列xについての2次の整式です。 式の形式をy=aL*x*x*aR + bL*x*bR + cとします。 (*は行列同士の積の記号、+は行列同士の和。 積は左の行列に右の行列を順に掛けます。) aL,aR,bL,bR,c,x,yは全て2次正方行列です。

将旋转矩阵与二阶方阵相乘。

2次正方行列に回転行列を掛ける計算をします。 2次正方行列Aを回転行列Pの逆行列Qに右から掛け行列QAを計算し、 次に回転行列PをQAに右から掛け、QAPを計算します。 Pの要素は(Qの右の数字は行番号・列番号)、 P11=cosθ P12=-sinθ P21=sinθ P22=cosθ とします(θはラジアン)。

二阶方阵的三次方程计算

2次正方行列の3次式を計算します。 y,x,aL,aR,bL,bR,cL,cR,dは2次正方行列とします。 式の形式を y=aL*x*x*x*aR + bL*x*x*bR + cL*x*cR + d とします。 「普通の数」のxについての3次式y=ax^3+bx^2+cx+dを真似しています。 L,Rはxのべきに対して左、右の位置を意味します。 *は行列同士の積で、左の行列に右の行列を掛けます。 複数の*結合は順次、左に対して右を掛けて行く事に成ります。 最後に各項を足します。

计算二阶方阵特征方程的系数和解。

2次正方行列の固有方程式を計算します。 固有方程式の係数を表示します。 固有方程式は2次方程式ですが、判別式Dの値を計算します。 また、判別式の平方根の値を表示します。 固有方程式の解を出力します。 重解のときも解を２つ表示します。判別式の値が0であれば重解です。

三个三阶方阵的乘积

3次正方行列の三つの積を計算します。 三つの3次正方行列A,B,Cの積を AB=A*B ABC=(A*B)*C と計算し、結果を出力します。(左に右を掛けます。)

进行与三阶方阵相关的计算。之五

3次正方行列に関連した計算をします。 3次正方行列の固有方程式の係数書き出しと、解の計算を行います。 固有方程式の形式をa(λ^3)+b(λ^2)+cλ+d=0とします。 (1)3次正方行列の固有方程式の係数を求めます。 (2)λの最高次数(3)の係数(-1)で各係数を割った処理をし、表示します。 (3)固有方程式の近似解を表示します。 (4)検算として式に近似解を代入した結果等を表示します。 (5)係数b,c,dが整数のとき因数定理を使い、解が見つかった場合には結果を表示します。

计算二阶方阵的平方根。

２次正方行列の平方根を計算します。 ある２次正方行列Mが与えられたとき、M=X^2を満たす２次正方行列Xを求めます。ここではXをMの平方根(2乗根)と呼ぶことにします。普通の数のルート(根号記号√)に当たる演算を考えることになります。

进行与三阶方阵相关的计算。之四。

３次の正方行列に関連した計算をします。 1)固有方程式の係数を出力します。固有方程式の形式はk0λ^3+k1λ^2+k3λ+k4=0とします。 2)小行列式の値を計算します。 3)余因子の値を計算します。 4)余因数行列を計算します。 5)サラスの図により行列式の値を計算します。 6)サラスの図により計算した行列式の値が0でなければ逆数を計算します。

我们将进行与四阶方阵相关的计算。

４次正方行列に関連した計算をします。 ここでは小行列式の値、余因子、余因数行列を計算します。 また、参考に入力した４次正方行列の行列式の値とその逆数を出力します。

向量的归一化（二维）

二次元ベクトルを単位ベクトルに規格化(正規化)します。 規格化前のベクトルvの要素をv1,v2とします。 ベクトルの大きさをrとします。 規格後のベクトルuの要素をu1,u2とします。

计算三个四阶方阵的乘积。

4次正方行列3個の積を計算します。 三つの4次正方行列A,B,Cを考え、まずAB=A*Bを計算し、次にABC=ABC=AB*Cを計算します。 AB,ABCも4次正方行列です。結果であるABCを出力します。(*は行列の積)

计算2行2列的行列式。（元素为复数分数）

２行２列行列式の計算をします。 ここでは複素数の分数が要素である場合を扱います。 aは1行目1列目の要素とします。 bは1行目2列目の要素とします。 cは2行目1列目の要素とします。 dは2行目2列目の要素とします。 入力ではa,b,c,dは分数であるとして入力します。 a,b,c,dの分母には0でない数値を入力します。 a,b,c,dの分子・分母とも複素数の範囲で入力します。

向量的归一化（三维）

三次元ベクトルを規格化(正規化)します。 規格化するベクトルvの成分をv1,v2,v3とします。 vの大きさをrとします。 規格化したベクトルuの成分をu1,u2,u3とします。

向量的归一化（4维）

四次元ベクトルを規格化(正規化)します。 規格化するベクトルvの成分をv1,v2,v3,v4とします。 vの大きさをrとします。 規格化したベクトルuの成分をu1,u2,u3,u4とします。

计算特征方程（三次）的系数。（分数、复数）

３次固有方程式(特性方程式)の係数を計算します。 ３次正方行列での固有値問題を考えるので ３行３列の行列式からの固有方程式導出となります。 ３次固有方程式の形式を -(λ^3)+m*(λ^2)+n*(λ^1)+定数項とします。 最高次数(λ^3)項の係数は-1のままとします。 (λ^2)項の係数、(λ^1)項の係数、定数項を計算し出力します。 固有方程式の形式は展開した後の形で表示します。

素数生成（米尔斯常数）

任意の自然数ｎを入力してください。

素数计数（威尔逊定理）

任意の自然数nを入力してください。 16以上の数は対応しておりません。

如果想推导质数生成式（威尔逊定理）的话

a

二次函数的顶点

2次関数の頂点を求めます。

计算标量三重积。

スカラー三重積の計算をします。 xyz空間座標系を右手系で考えます。 ベクトルbとcの外積をbcとします。 aとbcの内積を計算し、スカラー三重積の値を求めます。

余弦定理　数学Ⅰ

a,b,cosの値を用いてcの値を求めます

三阶实对称矩阵的数值对角化

実対称行列について数値的対角化法を行います。 ここでは３次正方行列の実対称行列を対角化します。

向量内积的余弦cosθ的值。

ベクトルa,bの内積の、余弦cosθの値を計算します。

向量内积中余弦cosθ的值（3维向量）

二つのベクトルa,bの内積の余弦cosθの値を計算します。

四次多项式的系数

4次固有多項式の係数導出をします。 式の形式をk4*λ^4+k3*λ^3+k2*λ^2+k1*λ+k0 とします。

向量方向余弦的计算

３次元ベクトルの方向余弦を計算します。 ベクトルをaとします。始点は原点です。

向量在经过原点的直线上的正投影

ベクトルの正射影の計算をします。

n维球体的体积与表面积

n次元球体の体積の一般化です

求解特征方程的系数（五次方程）

固有方程式の係数導出を行います。 ここでは五次正方行列の場合を扱います。 (五次の特性方程式)

计算四元数的n次幂。

四元数のn乗を計算します。 式の形式をq=a+bi+cj+dk, y=q^nとします。 i,j,kは各虚数単位です。 a,b,c,dは実部・各虚部です。

进行四元数的计算。

四元数の計算をします。 ２つの四元数Q1とQ2の絶対値、逆元、積Q1Q2,Q2Q1を計算します。

列维-奇维塔符号（3个字符）

レヴィ・チヴィタの記号の値を表示します。 ここではεとします。 数字のセットを{1,2,3}とします。 添字i,j,kによるセット{i,j,k}へ置換されるとき、 偶置換か、奇置換か、その他か、で値が変わります。 εの値とi,j,kを並べて列挙します。

莱维-奇维塔符号（4个字符）

レヴィ・チヴィタの記号の値を表示します。 ここではεとします。 数字のセットを{1,2,3,4}とします。 添字t1,t2,t3,t4によるセット{t1,t2,t3,t4}へ置換されるとき、 偶置換か、奇置換か、その他か、で値が変わります。 εの値とt1,t2,t3,t4を並べて列挙します。 但し、ε=+1,-1の場合だけ表に出力し、ε=0の組み合わせは省略します。

莱维-奇维塔符号（5个字母）

レヴィ・チヴィタの記号の値を表示します。 ここではεとします。 数字のセットを{1,2,3,4,5}とします。 添字t1,t2,t3,t4によるセット{t1,t2,t3,t4,t5}へ置換されるとき、 偶置換か、奇置換か、その他か、で値が変わります。 εの値とt1,t2,t3,t4,t5を並べて列挙します。 但し、ε=+1,-1の場合だけ表に出力し、ε=0の組み合わせは省略します。

行列式的符号与下标（三次）

行列式展開時の符号と添字を出力します。 三次の場合です。 整頓したものは「サラスの公式」として知られています。 符号と要素の添字n・σ(n)を列挙します。 n=1,2,3です。

行列式的符号与下标（4阶）

行列式展開時の符号と添字を出力します。 四次の場合です。 符号と要素の添字n・σ(n)を列挙します。 n=1,2,3,4です。

行列式的符号与下标（5次）

行列式展開時の符号と添字を出力します。 五次の場合です。 符号と要素の添字n・σ(n)を列挙します。 n=1,2,3,4,5です。

利用四元数计算一元一次方程

四元数による一次式の値を計算します。 式の形式を y=aL*x*aR+b とします(*は積の記号)。 y,x,aL,aR,bは四元数です。 積は左に対して右を掛けて行きます。

利用四元数计算二次式

四元数による二次式の値を計算します。 式の形式を y=(aL*x*x*aR)+(bL*x*bR)+c とします(*は積の記号)。 y,x,aL,aR,bは四元数です。 積は左に対して右を掛けて行きます。

利用四元数计算三次式

四元数による三次式の値を計算します。 Lnはx^nの左側の係数です。 Rnはx^nの右側の係数です。 Mは定数項です。 積は左に対し右を掛けて行きます。 各n次項では、Lnにxを右からn回掛け、さらに右からRnを掛けます。 最後に定数項も含めて和算を行います。 これを多項式の値として出力します。

计算两个八元数的乘积。

八元数の積を計算します。 二つの八元数a,bの積の計算です。

sinc函数

1. 定義と役割sinc（シンク）関数は、\(\frac{\sin (x)}{x}\) で定義される関数です。通信理論や信号処理（サンプリング定理）において、波形を滑らかに補完するために不可欠な数式です。 2. プログラムの要点 0除算の回避: \(x=0\) のとき、数式上は \(\frac{0}{0}\) となり計算不能（エラー）になります。極限値の採用: 数学的に \(\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sin (x)}{x}=1\) であるため、コード内では if 文を使って \(x=0\) のときに強制的に \(1\) を返すように制御しています。 3. 挙動 \(x=0\) で最大値 \(1\) をとります。\(x\) が離れるにつれ、波打ちながら \(0\) に収束していきます。

双对数函数 ※仅限实数（x≦1）

Dilogarithm(二重対数関数)の値を計算します。 x∈(-∞,1]で計算可能です。 x>1ではLi(2,x)は実数にはならず、実装していないので、エラーとして0が返ります。

伽马函数数值表输出

ガンマ関数の数値表を出力します。 複素平面をイメージしてください。 ガンマ関数への入力数値sは複素平面の線分上から行います。 始点となる点Pの複素数の実部は、0でない正の数値であるとします。 終点となる点Qの複素数の実部も、0でない正の数値であるとします。 線分をn等分し、始点を第０番目、終点をn番目の入力として、 ガンマ関数の数値を計算します。 出力形式は表形式です。