一般数学

2数の平均値の計算

２数 a, b の相加平均、相乗平均、調和平均、対数平均、二乗和平均、三乗和平均を求める。

２元１次方程式（ax+by=p,cx+by=qの法則）

yの係数を同じにしてから２元１次方程式をことわってください。 xとyの値を解きます。

累乗

累乗の計算をします。

和差算

合計と差だけで、2つの数を求める計算です。

四則演算（４つの計算）

４つの計算（基礎的なもの）

円周率の計算

円周率の計算です（円周と面積）

行列のn乗（2次式）

2次正方行列のn乗を求めます。 仕様により複素数も入力できますが、正しい値は求まりません

友愛数

2つの自然数で、自分自身を除いた約数の和が同じになるものを友愛数といいます（博士の愛した数式でも登場しました）。 2つの数を入力して、その約数の和がお互いに同じになるか見てみましょう。

ラマヌジャンのタクシー数を生み出す恒等式

(x^2+9*x*y-y^2)^3 + (12*x^2-4*x*y+2*y^2)^3=(9*x^2-7*x*y-y^2)^3 +(10*x^x+2*y^2)^3 というラマヌジャンが発見した恒等式でx=1,y=0ならラマヌジャンが入院中にタクシーの ナンバー1729を聞いて1729=1^3+12^3 = 9^3+10^3と即座に答えたものが再現できます。

反比例の増加量

比例定数の変化の割合を計算します。

正則連分数の計算

正則連分数を計算します（n項まで）

n進数変換(n＜＝34の任意の整数）

10進数をn進数(n＜＝34の任意の整数）に変換します。

海辺の美女の問題(結婚する相手を探す問題)

海辺にn人の美女が並んでいる。美女には順位がついているがそれはわかってない状態で一人ずつ会う。 一体何人目を誘うのがいいのか？表示はn-1人ですが、最後の一人の順位は自明ですよね。

正矢（矢高）等を古い三角関数で表す

三角関数の値を求めます． 古い三角関数も「正矢」などは「矢高」などとしても使われています．

カプレカ数（カプレカルーチン）

お好きな数を思い浮かべます（3桁か4桁がお勧め）。その数の各桁の数を並び替えて、 最大になるような数と最小になるような数を作ります。その差を取ります。 それを繰り返すと、ある一定の数になることがあります。 （お好きな数は10桁まで。5桁はどうなるか？）

単位円の円周の一部

単位円の円周の一部

フィボナッチ数列・ペル数列・パドヴァン数列・ペラン数列

フィボナッチ数列・ペル数列・パドヴァン数列・ペラン数列の計算と、その隣接項の比を計算します。 比はn→∞で黄金比、白銀比、そしてあと2つはプラスチック数になります。

ジョイス数列（ジェイムズ・ジョイスのユリシーズにちなむ）

ジェイムズ・ジョイスのユリシーズにちなむ数列、a_n=(n^(n^n)の桁数）を計算します。

1のn乗からxのn乗までの合計を求める

1の2、3乗からxの2、3乗までの合計を求める自作式を参考に、xとnの値を変更して計算できるようにしました。

算数マジック（6個の数字を次々足していって最後に何が残るか）

お好きな6つの数字を書きます。そしてその隣り合う数字を足した値の1桁目を1段下に書きます。 これを繰り返して最後に出てくる数字を、6つの数字を書き終えた瞬間に言い当てる算数マジックです。 （三谷純さんのTweetより）

ＤＷＢ式サスペンションのアライメント変化

サスペンションのアライメント変化の計算プログラムンは市販されているが、高価なので作ってみました。、

三重階乗 x!!!の計算 (ワンパラメータ)

三重階乗を計算します。

三重階乗 x!!!の計算 (ノーパラメータ，究極)

三重階乗を計算します。

正の整数の各桁を2乗して足すのを繰り返すとどうなるか

好きな正の整数を思い浮かべて、その各桁を2乗したものを足していくと1になるか、 4,16,37,58,89,145,42,20のサイクルに落ちます。

★√(2012-nの２乗)計算

掲示板での質問「√(2012-nの２・・・」用計算

4桁の数字の複雑さ

入力された4桁の数字の複雑さを評価します。

ゼロ除算の扱い

ゼロ除算の扱い

「整数点を４つ通る３次関数式について」分数表示対応版

「整数点を４つ通る３次関数式について」分数表示対応

「整数点を４つ通る３次関数式について」用

「整数点を４つ通る３次関数式について 」用

★楕円に関する問題用　（楕円上の2点間弧長Cとn°）

★楕円に関する問題用　（楕円上の2点間弧長Cとn°）

★楕円に関する問題用　作図

★楕円に関する問題用　作図

同じ数同士の掛け算

あまり役に立たないと思いますが、なるべくお使いいただけると嬉しいです。

比例配分計算

TがT2とT1の値の間にある場合のSの値

12の倍数のフィボナッチ数

フィボナッチ数を計算します。

順列の総和

順列の総和

積を和から計算するProsthaphaeresisと対数表

積を素早く計算する方法として、和に直すために16世紀以前はProsthaphaeresisという、cos(a)cos(b)=(cos(a+b)+cos(a-b))/2が使われていたそうです。その後対数表でlog(ab)=log(a)+log(b)を利用してさらに容易になりました。それを見てみましょう。

11桁の数字のチェックディジット計算

11桁の数字からチェックディジットを計算します。

コラッツ数列

コラッツ予想とは任意の正の整数nに対し •nが偶数のとき n/2 •nが奇数のとき 3n+1 を繰り返したとき有限回の繰り返しで必ず1に到達するというものである

倍々計算

遊びで数を倍々する機会があるので作りました

サルとタイプライター計算機

サルがタイプライタをたたいた時に目標の文字列を打てるまでの回数を計算します。

時差計算機(秒)

時差計算機(無駄に秒単位)

速度計算機(Å/s)

速さの計算を無駄にÅ/sで作ってみました。

やってみよう！平方の差

この式は,aの二乗からbの二乗を引くときに、二乗する計算を省ける魔法の式です。 まずは暗算で確かめてからこれでやってみてね。

三角関数計算

三角関数を計算します。

12の倍数のフィボナッチ数 (通常)

フィボナッチ数を計算します。

３乗根の分母の有理化

3乗根の分母を有理化します。

mod N で、初項g の等比数列を作る

mod N における等比数列を作ります。

二元連立方程式を解く

連立方程式ax+by=m,cx+dy=nを解きます

一つの式に二次の項を含む二元連立方程式のyを片方だけ求める

式の一つが二次の項を含む二元連立方程式ax^2+by^2+cx+dy=m,fx+gy=nのyを片方だけ求められます

比較的素数を作る式①

比較的素数になりやすいです 50桁では限界があります

二次方程式を解く

二次方程式を解きます Xとyが重なったら重解です

比較的素数を作る式②

大体どちらかが素数になります aの値によって答えが爆発的に増えます

三次関数の極限の時のx

三次関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+dの極限の時のxを求めます dは微分の時に消えます

コラッツ予想の計算

コラッツ予想の計算過程を表示します。

1つの奇数を含むピタゴラス数を探す（複素数への応用可…？）

偶数を代入しても成り立ちますが答えが整数になりません 複素数への応用可能（？）（作者はそれを予想して作ってない）

約数関数σx(n)

自然数 n の約数 d の x 乗の総和を値として持つ関数である約数関数σx(n)を計算します。 σ1(n)=2*nとなるとき、nは完全数です。

電圧・電流誤差率

電圧・電流の校正で使用する誤差率の公式

抵抗計の校正

抵抗計の校正に用いる計算式

冪乗剰余演算

冪剰余を計算する

平方剰余・平方剰余記号の計算

整数aとpとが互いに素であり、合同式 x²≡a (mod p)が解をもつとき、 aは p を法として平方剰余といいます。この計算を行います。平方剰余記号(a/p)も計算します。

卵型の一般方程式

Valeriy G. Narushin, et al. "Egg and math: introducing a universal formula for egg shape". Ann. N. Y. Acad. Sci., 2021.の紹介を彩恵りり (科学系ニュース解説アカウント)さんがTweetしていたのでカシオの高精度計算サイトでもやってみました。

コラッツ予想(Collatz conjecture)の図示

任意の正の整数 n をとり、 n が偶数の場合、n を 2 で割る n が奇数の場合、n に 3 をかけて 1 を足す という操作を繰り返すと1になる、というコラッツ予想を図示します。n=27なら111回繰り返しで1になります。 証明できたら1億円だそうです。

三角形の斜辺

三平方の定理を使って三角形の斜辺を求めます。

正方形の対角線

三平方の定理を使って、正方形の対角線の長さを求めます。

正三角形の高さ

三平方の定理を使って正三角形の高さを求めます。

等差数列のN番め

等差数列のN番目を求めます

チキンマックナゲット数（フロベニウスの硬貨交換問題）

昔、イギリスのマクドナルドではチキンマックナゲットのセットに入っている個数は6個、9個、20個でした。セットを複数買う場合、ナゲットの総数として作れない数の最大値が非チキンマックナゲット数です。これを複数の金額の硬貨に置き換えたものがフロベニウスの硬貨交換問題です。3枚の硬貨に相当する計算を行います。

鶴亀算(足の数が多い方の頭数)

鶴亀算をします。

四角錐台の斜辺を計算

四角錐台の斜辺を計算

あまりを求め

x/yの、あまりを求めます。

円周率求め

xに大きい数を入力すると、 円周率の近似値を求められます。

不定方程式a*x+b*y=gcd(a,b) （ベズーの等式）

2022年共通テストの数学I・数学Aの問題4は不定方程式 （ディオファントス方程式） 5^4*x-2^4*y=1, 5^5*x-2^5*y=1, 11^5*x-2^5*y=1の解を求めるものでした。 一般にa*x+b*y=gcd(a,b) の解はベズーの等式として知られています。このx, yを求めます。

2本の円の接線と二つの接線の間の角度から半径を計算する数式

2本の円の接線と二つの接線の間の角度から半径を計算する数式

信頼性95%下限

2項分布、正規分布に近似するものの信頼性95%の下限

信頼性95%上限

同上、上限。

素因数分解（素因数と指数を並べて表示）（性能アップ版）

素因数分解（素因数と指数を並べて表示）（性能アップ版）最終更新2022/2/22

素因数分解（素因数と指数を並べて表示）

素因数分解（素因数と指数を並べて表示）最終更新2022/2/22

6÷2(1+2) の計算

有名な計算式 6/2(1+2)　をカシオ計算サイトに計算してもらいましょう 最終更新2022/2/22

エラトステネスの篩

エラトステネスの篩 最終更新2022/2/22

ラマヌジャンの恒等式（ソースコード付き）

ラマヌジャンの恒等式（ソースコード付き）　　最終更新2022/2/28

GCD最大公約数 とLCM最小公倍数（11個まで対応）

11個の整数の最大公約数＆最小公倍数 を表示します　　　　　 最終更新2022/2/27

エラトステネスの篩

エラトステネスの篩 最終更新2022/2/22

a^b

a^b

aからnの合計。

aからnの合計は…

100万までの素数を列挙

エラトステネスの篩で100万までの素数を表示できます。

ユークリッド互除法の計算過程など

ユークリッドの互除法で a, b の最小公倍数を求め、計算の途中経過も表示します。

大きな素数を生成

最長50桁の大きな素数を生成できます。 ただし遅いです。50桁にもなると結構待ちます。

有効桁を越える掛け算の実装

プログラミング的な話になります。 整数を考える場合、数値が有効桁で丸められてしまうのは問題ですよね。 本来、掛け算の答えを正確に出すには二倍の有効桁が必要です。

有効桁を越える繰り上がりがある足し算の実装

プログラミング的な話になります。 足し算をした結果が有効桁数を越えると指数表示になって一番下の桁が丸められてしまうのですが、 加算するときに特殊な操作をすることで桁丸めを回避して繰上りを実現します。

有効桁を越える数値の割り算を考えてみる

プログラミング的な話になります。有効桁の2倍の桁数がある数値で割り算をして答えと余りを出します。もちろん扱うのは整数です。

証明問題に関する検証用

検証用

素因数分解（試し割り法＋rho法）修正版

入力した自然数を素因数分解します。試し割り法とrhoメソッドを使った素因数分解です。

因数分解問題生成器

文字式の因数分解問題を生成します。生成するのは１変数の単純な式だけですが、三次式、四次式の問題も作成できます。

２次関数の頂点の座標を計算します。

２次関数のグラフｙ=ax^2 +bx +c (aは0ではない)の頂点のx,y座標を計算します。

３次曲線に関連した計算をします。

３次曲線に関連した計算をします。

２次関数を平方完成で変形します。

２次関数に関連した計算をします。 y=ax^2 +bx +cをy=a(x-p)^2 +qに変形する計算をします。

直径を求める

(円の)円周から、(円の)直径を求めます。

円周を求める

(円の)直径から、(円の)円周を求めます。

逆数を求める

指定した数の逆数を求めます。

割合を求める

もとにする量と比べる量から、割合を求めます。

miahru a^b

好きな数の累乗を示す事ができる。

増減表生成器

関数の増減表を生成します。 簡単な関数の増減表しか生成できませんが、数IIの範囲ならカバーできるかと思います。 四角の中には係数を入力してください。項がない場合は0にしてください。 スマートフォンでは、レイアウト崩れが起きることがあります。 √表示の対応は厳しいです。

3次の整式を2次の整式で割ります。

3次の整式を2次の整式で割ります。

ビット数とダイナミックレンジ

ビット数からダイナミックレンジ（理論値）を求めます。

2次方程式の判別式Dの値をチェックします

２次方程式の解の公式の判別式D。このDについて、根号の外に出せる数をチェックします。 Dは自然数とし、出せる数も自然数を扱います。

z^n=a+bi

この式は、「z^N=a+b*i」の方程式を解きます。

mmからcmへ

試し

cubic_equation_formula

cubic_equation_formula

cubicEquation function

cubicEquation function

quartic Equation function

quartic Equation function

4次方程式をExcelで計算する

Excelのセルにコピーするだけで4次方程式の根が出る式

分数→小数

分数→小数

四角形 面積計算

四角形(平行四辺形、正方形、長方形、菱形)の面積を計算します。

扇形の面積

扇形の面積を求めます。

円周率

円周率を表示します。

２次関数の最大・最小値を計算します。

２次関数の最大値と最小値を計算します。定義域は閉区間とします。対応する値域での最大値・最小値を計算します。

３次曲線の最大最小を計算します。

３次曲線の最大最小を計算します。 定義域が閉区間の３次関数の値域において、３次関数の 最大値・最小値を計算します。

増減表生成器Ver2

簡単な関数の増減表を生成できます。 増減表生成器はabcdefg85と言うアカウントでも公開されてますが製作者は同じです。 コード短縮、見やすさ向上を図りました。

円の面積

円の面積を求めます

累乗計算

xのy乗を求めます

分数を、整数比の分数に直します。

分数に関連した計算をします。 入力した数値を整数比による分数に直します。

分数の四則演算を計算します。

分数の四則演算を計算します。 二つの分数a,bについて足し算、引き算、掛け算、割り算を計算します。 また、各演算結果について、小数形式でも表示し、参考とします。 ここでは帯分数は扱いません。 出力の分数は「整数比の分数」です。

置換の偶奇を判定します。(３文字)

置換の偶奇を判定します。 ここでは数字列123の置換を扱います。 ３文字の置換σが偶であるか奇であるかの判定です。 偶の場合sgn(σ)= 1 奇の場合sgn(σ)=-1 とし、 1,-1を判定結果として出力します。

置換の偶奇を判定します。(４文字)

置換の偶奇を判定します。 ここでは数字列1234の置換を扱います。 ４文字の置換σが偶であるか奇であるかの判定です。 偶の場合sgn(σ)= 1 奇の場合sgn(σ)=-1 とし、 1,-1を判定結果として出力します。 偶数個の互換の積で表せる置換が偶置換、 奇数個の互換の積で表せる置換が奇置換です。 偶置換なら偶奇判定は偶とし、 1を出力します。 奇置換なら偶奇判定は奇とし、-1を出力します。 置換の偶奇判定は行列式の定義に使われることがあります。

２元１次連立方程式に関連した計算をします

２元１次連立方程式に関連した計算をします。 式の形式は ax+by=e cx+dy=f とします。 ２式とも「y=～」の形に変形し、xy平面上でグラフで考えたとき、 ２直線が平行か、直線が同一で重なるか様子を見ます。 式の形式は y=m1x+n1 y=m2x+n2 となり、n1,n2はy切片となります。 m1,m2は直線の傾きです。傾きが同じであれば平行です。 さらにy切片が同じであれば２直線は同一で重なります。 ここでは逆行列を使わず、拡大係数行列での掃き出し法も用いていません。 まずyを消去し、xを求めてからy=m1x+n1に代入する計算をしています。 直線が平行でないとき解x,yを出力します。 解なし、不定、任意定数は扱いません。 複素数(虚部が0でない非実数)は扱いません。

式の展開をします(３次)。

式の展開をします。３次式になる展開を計算します。 展開前の式の形式をk(x+a)(x+b)(x+c)とします。 展開後のxの３次式の形式をA(x^3)+B(x^2)+C(x^1)+Dとします。 k,a,b,cを入力して下さい。展開後のA,B,C,Dを計算し、出力します。

式の展開をします。(４次)

式の展開を計算します。ここでは４次式になる場合です。 展開前の式の形式は k{(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)} とします。 kを分配しない展開後の式の形式を k{p4(x^4)+p3(x^3)+p2(x^2)+p1(x^1)+p0}とします。 kを分配した展開後の式の形式を t4(x^4)+t3(x^3)+t2(x^2)+t1(x^1)+t0とします。

式の展開をします。(２次)

式の展開を計算します。２次式になる場合です。 展開前の式の形式を(ax+b)(cx+d)とします。 展開後の式の形式をP*(x^2)+Q*(x^1)+Rとします。(*は掛け算) a,b,c,dは分数であるとして入力します。 分子・分母の入力欄には整数で入力して下さい。 a,cの分子には0でない数値を入力します。 a,b,cdの分母には0でない数値を入力します。 入力・出力とも帯分数形式は扱いません。 複素数(虚部が0でない非実数)は扱いません。

分数に関連した計算をします。その２。

分数に関連した計算をします。 ここでは複素数の割り算(除算、除法)の結果を 分数で出力することを考えます。 出力する分数では、分子の実部・虚部が整数になるように計算します。 出力する分数では、分母は自然数になるように計算します。 出力した分数の分子を出力した分数の分母で割った値も参考に出力します。 入力する分数の分母には0でない数値を入力します。 (入力する分数の分母は、実部か虚部のどちらかが0ではないようにする。)

分数式の通分を計算します。(1次同士)

分数式の通分を計算します。 分子・分母ともxの１次式であるとします。 通分前の形式を (mx+n)/(ax+b)+(px+q)/(ax+b) とします。 通分後の式の形式を (k0(x^2)+k1x+k2)/t0(x^2)+t1x+t2) とします。 約分など、式の形を整えることはせず、そのまま表示します。

２次方程式の判別式Dの値をチェックします。その２。

２次方程式の判別式Dのチェックをします。 ２次方程式ax^2 +bx +c =0を考えます。 a,bは係数です。cは定数項です。aは0でないとします。 ここでは判別式Dの数値が正で、整数比の分数である場合を扱います。 解の公式の根号部分√Dについて、外に出せる分子・分母があるかをチェックします。 分子・分母とも自然数である場合です。(分子は0でもよい) チェック前の形式を√Dとします。 チェック後の形式をk√Eとします。 kは根号の外に出せた分数です。Eは根号の中に残った分数です。

加重相乗平均の計算をします。

加重相乗平均の計算をします。 データセットは10個までとします。 入力時、重みの総計は1でなくとも良いとします。 合計が1になる様、重みの再配分を計算し、表示も行います。 加重相乗平均の使用例としては実効為替レートなどがあります。 データセットの各データは分数であるとして入力します。 加重相乗平均を小数形式で出力します。

平方根の計算規則に関連した計算をします。

平方根の計算規則に関連した計算をします。 ここでは根号の中の数値をチェックし、根号の外へ 括り出せる数値があるか調べます。 根号の中の数値をnとします。nは負でない実数を考えます。 チェック前の式の形式を√nとします。 チェック後の式の形式をk√mとします。 チェックの処理内容はn=m*(k^2)とみなしてkを根号の外に出すことです。 検算として再度m*(k^2)を計算し、nと並べて表示します。 最後に√nの値、√m*(k^2)の値を並べて表示します。

根号の中をチェックします。(n乗根関連)

根号の中の数値をチェックします。 ここでは根号はn乗根計算のための根号とします。 調べたい数値xを入力します。 n乗根のnを入力します。 根号の外に出せる数値kを出力します。 根号の中に残った数値yを出力します。 検算として、kをn乗して根号の中に入れ、yとの積を計算します。 xが復元出来たかを確認します。

置換の偶奇を判定します。(5文字)

置換の偶奇を判定します。 ここでは数字列12345の置換を扱います。 ５文字の置換σが偶であるか奇であるかの判定です。 偶の場合sgn(σ)= 1 奇の場合sgn(σ)=-1 とし、 1,-1を判定結果として出力します。 偶数個の互換の積で表せる置換が偶置換、 奇数個の互換の積で表せる置換が奇置換です。 偶置換なら偶奇判定は偶とし、 1を出力します。 奇置換なら偶奇判定は奇とし、-1を出力します。 置換の偶奇判定は行列式の定義に使われることがあります。 入力欄には12345を置き換えた結果(偶奇を調べたい数字列)を入力します。 置換の表記では下段によく書かれます。 例えば、12345を置き換えた(順番を入れ替えた)12354の偶奇を 調べたい場合、左から入力1=1、入力2=2、入力3=3、入力4=5、入力5=4とします。 偶奇の判定結果を出力します。

部分分数分解を計算します。(３項)

部分分数分解を計算します。 ここでは分子が２次式・分母は３次の分数式を 分子が定数・分母は１次式の３項の和の式に分解します。 形式は (Lx^3+Mx^2+N)/(x+P)(x+Q)(x+R)=(a/(x+P))+(b/(x+Q))+(c/(x+R)) とします。 左辺を右辺に部分分数分解する計算をします。

式の展開をします。(5次)

式の展開を計算します。 ここではxの5次式になる場合を扱います。 式の形式は (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)(x+e)=k5(x^5)+k4(x^4)+k3(x^3)+k2(x^2)+k1(x^1)+k0 とします。 k5,k4,k3,k2,k1,k0は展開後の式の各項の係数です。 左辺を右辺に展開します。

式を展開します。(たすきがけ因数分解の逆)

式の展開をします。 ここではたすきがけの因数分解の逆を行います。 式の形式は (ax+b)(cx+d)=L(x^2)+Mx+N とします。 左辺を右辺に展開します。

部分分数分解を計算します。

部分分数分解を計算します。 ここでは「分子が1次式、分母が２つの１次式の積の分数式」を 「分子が定数、分母が1次式の分数式」２項に分解する場合を扱います。 式の形式は (Lx+M)/(x+P)(x+Q) = a/(x+P) + b/(x+Q) とします。左辺を右辺に部分分数分解します。

部分分数分解を計算します(2項)

部分分数分解を計算します。 ここでは「分子が定数、分母が1次式の分数式」２項に分解する場合を扱います。 式の形式は (Lx+M)/(x+P)(x+Q) = a/(x+P) + b/(x+Q) とします。左辺を右辺に部分分数分解します。

部分分数分解を計算します。(分子・分母2次式)

部分分数分解を計算します。 分数式の分子がxの２次式、分母は２つの１次式の積の場合を扱います。 式の形式は (x^2+Lx+M)/(x+P)(x+Q) = a/(x+P)+(x+b)/(x+Q) とします。x^2の係数は1です。 左辺を右辺に部分分数分解します。

部分分数分解を計算します。(4項)

部分分数分解を計算します。 ここでは分数式の分子が３次式、分母が４次式の分数式を、 分子が定数で分母が１次式の４項の和に直します。 式の形式は (Kx^3+Lx^2+Mx^1+N)/(x+P)(x+Q)(x+R)(x+S)=a/(x+P)+b/(x+Q)+c/(x+R)+d/(x+S) とします。左辺を右辺に部分分数分解します。

分数に関連した計算をします。その3。(n乗計算)

分数に関連した計算をします。 ここでは分数のn乗を考えます。 扱う分数の分子は整数であるとします。 扱う分数の分母はゼロでない整数であるとします。 n乗の「n」は1以上の整数であるとします。 分数のn乗を計算します。

式の展開をします。(6次)

式の展開をします。 xの6次の多項式になる場合を扱います。 式の形式は p(x+k1)(x+k2)(x+k3)(x+k4)(x+k5)(x+k6)=p{a6(x^6)+a5(x^5)+a4(x^4)+a3(x^3)+a2(x^2)+a1(x^1)+a0(x^0)} とします。左辺を右辺に展開します。 k,a,Aの右の添字(数字)はxの次数に合わせた形式です。 Aはp分配後の係数の数値です。

式の展開をします。(2次・2次)

式の展開をします。xの多項式同士の積です。 ここでは２次式同士の積により４次式になる場合を扱います。 式の形式は (ax^2+bx+c)(px^2+qx+r)=k4x^4+k3x^3+k2x^2+k1x+k0 とします。 左辺の式を右辺の式に展開します。 係数kの右の数字は添字で、xの次数に合わせてあります。

組立除法(10次まで)で計算します。

組立除法による多項式の除法を計算します。 ここでは10次までのxの多項式を1次式(x-α)で割ることを考えます。 存在し無い項は係数が0であるとして扱います。

式の展開をします。(３つの1次式の積)

式の展開を計算します。 3つの1次式の積です。 式の形式は (ax+b)(cx+d)(ex+f)=k3x^3+k2x^2+k1x+k0 とします。 左辺を右辺に展開します。

式の展開をします。(1次式の積4個)

式の展開をします。 ４つの１次式の積を扱います。 式の形式は (ax+b)(cx+d)(ex+f)(gx+h)=k4x^4+k3x^3+k2x^2+k1x+k0 とします。 左辺を右辺に展開します。

正の約数の個数と総和を計算します。(素因数3個)

約数の個数と総和の計算をします。 ３つの素数P,Q,Rを素因数とする合成数について正の約数の個数、 総和を考えます。 P,Q,Rはどれも1000より小さい素数に限ります。

自然数の約数の個数と総和を調べます。

自然数の約数の個数と約数の総和を調べます。 ここでは真正直に、総当たりに除算を行い集計します。 (他のアルゴリズムに対する検算ともなるため。)

置換の偶奇を判定します。(6文字)

置換の偶奇を判定します。 ここでは数字列123456の置換を扱います。 ６文字の置換σが偶であるか奇であるかの判定です。 偶の場合sgn(σ)= 1　(いち) 奇の場合sgn(σ)= -1　(マイナス　いち) とし、 1,-1を判定結果として出力します。 偶数個の互換の積で表せる置換が偶置換、 奇数個の互換の積で表せる置換が奇置換です。 偶置換なら偶奇判定は偶とし、 1を出力します。 奇置換なら偶奇判定は奇とし、-1を出力します。 置換の偶奇判定は行列式の定義に使われることがあります。 入力欄には偶奇を調べたい数字列(123456を置き換えた数字の文字列)を入力します。 置換の表記では下段によく書かれます。 例えば、123456を置き換えた(順番を入れ替えた)123564の偶奇を 調べたい場合、上から入力1=1、入力2=2、入力3=3、入力4=5、入力5=6、入力6=4とします。 偶奇の判定結果を出力します。 入力1,2,3,4,5,6には1,2,3,4,5,6の数字いずれかを入力。 入力1,2,3,4,5,6には重複なしで相異なる数字を入力。

置換の偶奇を判定します。(7文字)

置換の偶奇を判定します。 ここでは数字列1234567の置換を扱います。 ７文字の置換σが偶であるか奇であるかの判定です。 偶の場合sgn(σ)= 1　(いち) 奇の場合sgn(σ)= -1　(マイナス　いち) とし、 1,-1を判定結果として出力します。 偶数個の互換の積で表せる置換が偶置換、 奇数個の互換の積で表せる置換が奇置換です。 偶置換なら偶奇判定は偶とし、 1を出力します。 奇置換なら偶奇判定は奇とし、-1を出力します。 置換の偶奇判定は行列式の定義に使われることがあります。 入力欄には偶奇を調べたい数字列(1234567を置き換えた数字の文字列)を入力します。 置換の表記では下段によく書かれます。 例えば、1234567を置き換えた(順番を入れ替えた)7651234の偶奇を 調べたい場合、上から入力1=7、入力2=6、入力3=5、入力4=1、入力5=2、入力6=3、入力7=4と入力します。

置換の偶奇を判定します。(8文字)

置換の偶奇を判定します。 ここでは数字列12345678の置換を扱います。 ８文字の置換σが偶であるか奇であるかの判定です。 偶の場合sgn(σ)= 1　(いち) 奇の場合sgn(σ)= -1　(マイナス　いち) とし、 1,-1を判定結果として出力します。 偶数個の互換の積で表せる置換が偶置換、 奇数個の互換の積で表せる置換が奇置換です。 偶置換なら偶奇判定は偶とし、 1を出力します。 奇置換なら偶奇判定は奇とし、-1を出力します。 置換の偶奇判定は行列式の定義に使われることがあります。 入力欄には偶奇を調べたい数字列(12345678を置き換えた数字の文字列)を入力します。 置換の表記では下段によく書かれます。 例えば、12345678を置き換えた(順番を入れ替えた)87651234の偶奇を 調べたい場合、上から入力1=8、入力2=7、入力3=6、入力4=5、入力5=1、入力6=2、入力7=3、入力8=4と入力します。 偶奇の判定結果を出力します。

置換の偶奇を判定します。(9文字)

置換の偶奇を判定します。 ここでは数字列123456789の置換を扱います。 ９文字の置換σが偶であるか奇であるかの判定です。 偶の場合sgn(σ)= 1　(いち) 奇の場合sgn(σ)= -1　(マイナス　いち) とし、 1,-1を判定結果として出力します。 偶数個の互換の積で表せる置換が偶置換、 奇数個の互換の積で表せる置換が奇置換です。 偶置換なら偶奇判定は偶とし、 1を出力します。 奇置換なら偶奇判定は奇とし、-1を出力します。 置換の偶奇判定は行列式の定義に使われることがあります。 入力欄には偶奇を調べたい数字列(123456789を置き換えた数字の文字列)を入力します。 置換の表記では下段によく書かれます。 例えば、123456789を置き換えた(順番を入れ替えた)876512349の偶奇を 調べたい場合、上から入力1=8、入力2=7、入力3=6、入力4=5、入力5=1、入力6=2、入力7=3、入力8=4、入力9=9と入力します。

単位分数分解

エジプト算の計算をします。

約数を列挙します。

自然数nの約数を調べます。 1以上n以下の自然数で、nを割り切れる自然数を列挙します。 約数を出力します。

分数の足し算・引き算をします(10個まで)

複数個の分数の足し算・引き算を計算します。 ここでは10個までとします。 引き算は分子にマイナスの数値を入力します。 このとき分母には0でない正の数値を入力します。

部分分数分解を計算します(展開・算数)

部分分数分解を計算します。 分子・分母共に文字式ではなく数字であるとします。 積分の準備で行う部分分数展開ではなく、ある具体的な数字が分子・分母であるような 分数を、二つの分数に展開します。 分解後の二つの分数は単位分数です。 分解する元の分数の分子は展開後の二つの単位分数の分母の差です。 分解する元の分数の分母は展開後の二つの単位分数の分母の積です。 式の形式は n/m=(1/a)-(1/b) とします。左辺を右辺に展開します。 n=b-a m=a*b となるa,bを整数の範囲で計算します。 (b-aは引き算、a*bは掛け算)

単位分数和に関連した計算をします。

単位分数和に関連した計算をします。 電磁気学における直列の合成静電容量や並列の合成抵抗の計算式の形は 1/R=(1/r1)+(1/r2)+…(1/rn)、 1/C=(1/c1)+(1/c2)+…(1/cn) といった、左辺も右辺も単位分数の等式になっています。(単位分数とは分子が1の分数) ここでは右辺の項数を20個まで扱います。左辺の分母を求めます。

エジプト算(2項への単位分数分解)

エジプト算の計算をします。 これは分数を単位分数の和に直す計算です。 単位分数とは分子が=1である分数です。 分数の分子、分母ともに自然数です。 ここでは２つの単位分数に分解する場合を考えます。 扱うアルゴリズムは逆約分ループ型で、このタイプは 調べる分数の分子・分母に同じ自然数を掛けていくことで 分解の自由度を上げて行くものです。素因数分解の逆で合成数を 作って探索をすることになりますが、手計算の模倣としては 自然数1,2,3,…と逆約分することは良い方法です。 逐次減算式のアルゴリズムとは結果が異なる場合があります。 単位分数分解は結果が必ずしも一意ではないからです。 探索範囲は一般的には上限がなく扱う数値が大きくなり過ぎたり タイムオーバーが予期されますから、ループ回数に上限を設けます。

連立方程式[x,yの積と和]

連立方程式の計算をします。 ここではx,yの２元連立方程式の例として積・和の場合を考えます。 式の形式は u=kxy+c m=ax+by であるとします。 係数k,a,bは0でないとします。

加重平均を計算します。(データセット10個まで)

加重平均の計算をします。 ここではデータセットは10組とします。 ここでの加重平均計算は加重算術平均です。 重みは0以上の正の数値に限ります。 (制限外入力に対しては出力を行いません)。 データセットが10組より少ない場合は、 x,wの入力欄に数値0を入力(空白欄を作らないこと)。

3点による円の決定

３点から円を決定します。 半径、中心点の座標を計算します。 円の方程式の一般形について、式の形式を x^2+y^2+lx+my+n=0 とします。

エジプト算(3項への単位分数分解)

エジプト算の計算をします。 これは分数を単位分数の和に直す計算です。 単位分数とは分子が１である分数です。 分数の分子・分母共に、自然数です。 ここでは３つの単位分数に分解する場合を考えます。 扱うアルゴリズムは逆約分ループ型で、このタイプは 調べる分数の分子・分母に同じ自然数を掛けていくことで 分解の自由度を上げて行くものです。素因数分解の逆で合成数を 作って探索をすることになりますが、手計算の模倣としては 自然数1,2,3,…と逆約分することは良い方法です。 逐次減算式のアルゴリズムとは結果が異なる場合があります。 単位分数分解は結果が必ずしも一意ではないからです。 (尚、探索範囲は一般的には上限がなく、扱う数値が大きくなり過ぎたり タイムオーバーも予期されます)

加重平均を計算します。(データセット30個まで)

加重平均の計算をします。 ここではデータセットは30組とします。 ここでの加重平均計算は加重算術平均です。 重みは0以上の正の数値に限ります。 (制限外入力に対しては出力を行いません)。 データセットが30組より少ない場合は、 x,wの入力欄のデフォルト値0を残して下さい(空白欄を作らないこと)。 入力する重みは合計が1でなくとも良いとします。

エジプト算(4項への単位分数分解)

エジプト算の計算をします。 これは分数を単位分数の和に直す計算です。 単位分数とは分子が１である分数です。 分数の分子・分母共に、自然数です。 ここでは４つの単位分数に分解する場合を考えます。 扱うアルゴリズムは逆約分ループ型で、このタイプは 調べる分数の分子・分母に同じ自然数を掛けていくことで 分解の自由度を上げて行くものです。素因数分解の逆で合成数を 作って探索をすることになりますが、手計算の模倣としては 自然数1,2,3,…と逆約分することは良い方法です。

4点による３次以下での、曲線の決定

4点から３次以下の曲線を決定します。 相異なるxy座標四つから３次方程式の係数を求めます。 ただし、ここではaが0になる結果を許しますので、 ３次以下の方程式も出力します。 方程式の形式をy=ax^3+bx^2+cx+dとします。 (a=0を排除しません) 参考の為計算は複素数の範囲で行います。

y切片の計算(直線。通過点と傾きから)

直線のy切片を求めます。 直線の傾きはわかっているとします。 この直線がxy平面上のある点を通るときの y切片を計算します。

多項式の値の計算(10次まで)

多項式の計算をします。 各項は係数anにx^nを掛けた形であるとします。 ここでは最高次数は10です。 係数anの右のnは添字で、0～10であり、x^nの指数nに 合わせてあります。a0は定数項です。 y=a10*(x^10)+a9*(x^9)…+a1*x+a0とし、 yの値を計算し、出力します。 (*は掛け算の記号)

因数分解(2次。整数範囲)

因数分解をします。 ここでは整数の範囲のみ扱います。式の形式は x^2 + (a+b)x + a*b = (x+a)(x+b)　 とします。(*は掛け算、+は足し算の記号です。x^2は「xの２乗」です。) 和(a+b)と、積(a*b)を探します。

単位分数合成(２項)。逆エジプト算。

ある単位分数が2つの単位分数の和であるとき、その分母を求めます。 エジプト算関連です。 単位分数分解の逆となります。 式の形式を(1/A)+(1/B)=1/Cとします。(/は割り算の記号) 各分子の値は1です。 A,B,Cは分母です。A,Bは既知、Cが求めるべき未知数となります。 A,B,Cは全て2以上の自然数です。 A,Bは異なる自然数です。

関孝和と建部賢弘の和算での矢高と弦長から弧長を求める精度

日経サイエンス　2025年1月号の特集　和算再発見の佐藤賢一さんの記事、算聖　関孝和の実像に出てきた円弧の２乗の近似式と正確な値を比べてその精度を見ます。ただし円の直径は１に固定です。

接線の方程式の係数

接線の係数を計算します。 関数f(x)は2次以上かつ10次までの多項式であるとします。 調べるx座標を決めたとき、曲線上の点(x,f(x))を接点とする接線の 方程式の係数を出力します。

1次導関数と2次導関数の係数計算

導関数の係数を計算します。 5次までの整式を微分することを考えます。(べき^は0以上5以下の整数。) 1次導関数、2次導関数の係数を求めます。(係数は実数範囲)

自然数の単数変換を計算します。

単数変換の計算をします。 自然数nの各桁の数値は0～9です。これらの総和を計算し、10以上であれば それを新たなnとして各桁を足します。 この手順を結果が1以上9以下になるまで繰り返します。 0に対する単数変換は0とします。

自然数の文字数を求めます

自然数nの数字の個数を求めます(10進法)。 各桁の数字を1個として、和を計算します。

式の展開をします(展開後２次式)

式の展開を計算します。 ここでは展開後２次式になる場合です。 式の形式は P(x+a)(x+b)=P(j2x^2+j1x+j0) Pを分配して =k2x^2+k1x+k0 とします。左辺を右辺に展開します。 英文字j,kの右の数字は添字でxの次数に合わせてあります。 (j0,k0は定数項)

式の展開をします(展開後３次式)

式の展開を計算します。 ここでは展開後３次式になる場合です。 式の形式は P(x+a)(x+b)(x+c)=p(j3x^3+j2x^2+j1x+j0) Pを分配して =k3x^3+k2x^2+k1x+k0 とします。左辺を右辺に展開します。 英文字j,kの右の数字は添字でxの次数に合わせてあります。 (j0,k0は定数項)

3次方程式の判別式の値を計算します。

３次方程式の判別式の値を計算します。 ３次方程式の形式を ax^3+bx^2+cx+d=0 とします。 係数は全て実数の場合を考えます。 このときの判別式の値を計算します。 判別式の値=0のとき方程式は重解を持ち、 正のとき相異なる実数解を持ち、 負の場合は1つの実数解と共役な関係にある２つの虚数解を持ちます。

無理関数の接線の方程式

無理関数の接線を計算します。 無理関数の式の形式は　y=k+a√x　とします。 接線の方程式の係数と定数項を求めます。

4次式を2次式で割ります。

4次式を2次式で割ります。 4次の整式を2次の整式で割ります。 割られる4次の整式の形式を ax^4+bx^3+cx^2+dx+eとします。 割る2次の整式を lx^2+mx+nとします。 商の式の形式を Q2x^2+Q1x+Q0とします。 余りの式の形式を R1x+R0とします。 Q,Rの右の数字は添字で、xの次数に 合わせてあります。

因数定理の活用(整数範囲。10次まで)

因数定理の計算をします。 10次まで扱います。 係数は全て整数であるとします。 式の形式を f(x)=a10x^10+a9x^9+･･･+a2x^2+a1x+a0 とします。　

点数計算

問題数と正解数を入力すると点数に変換できます。

円周率をもとめる

円周率求めます！

倍数の個数(自然数n以下)

自然数1～nに含まれる、a,b,の倍数の個数を計算します。 ガウスの記号によります。 n,a,bは自然数です。 cは、c=a*bの自然数です。(*は掛け算)

割り切れる・割り切れないの個数

ある範囲の連続した自然数があるとき、 それらが二つの異なる自然数によって割り切れるか割り切れないかを調べ、 結果を集計します。

割り切れる・割り切れない(自然数３個)

連続した自然数n0から自然数n1までについて、 ３つの自然数a,b,cで割り切れるか割り切れなかったかを調べ、 個数を集計します。

分数関数の変形

分数関数の変形をします。 元の分数関数の形式を y=(ax+b)/(cx+d) とします。 変形後の形式をy={k/(x-p)}+qとします。

互いに素の個数

「互いに素」の自然数の個数を調べます。 ある一つの自然数について、連続する自然数の範囲で互いに素の個数を調べます。

「余り」二つによる検索

自然数nが二つの異なる自然数a,bより大きいとき、 自然数aで割ると余りRaであり、 自然数bで割ると余りRbであるような自然数の最大・最小を調べます。

無限に続く入れ子の平方根の計算

無限に続く入れ子の平方根の計算

正多角形の対角線の本数

正多角形の対角線の本数

不定方程式の特殊解探索(x,y切片間。整数範囲)

不定方程式の特殊解を探索します。 整数の範囲です。 式の形式を ax+by=c とします。

不定方程式の特殊解探索(整数範囲)

不定方程式の特殊解を探索します。 式の形式を ax+by=c とします。整数の範囲を扱います。 xへ整数を順々に代入し、yが整数であって式を満たす場合、出力します。 見つからない場合、入力が制限外の場合は表示しません。

素数の近似値(n≧6)

必ずとも素数とは限りません。

n番目のフィボナッチ数

任意の自然数nを入力してください。

ラマヌジャンの公式

ラマヌジャンの公式　　最終更新2025/05/01

(sin x)÷x と（tan x)÷x　のグラフ

(sin x)÷x と（tan x)÷x　のグラフ 最終更新2022/2/22

素数の判定

素数かどうか判定します。

分数の通分

分数の通分をします。

式を展開します。二つの多項式の積(5次・5次まで)

式の展開を計算します。 ここでは二つの多項式の積を展開します。 二つの多項式をf(x),g(x)とします。 文字の種類はx一つで、次数はどちらも5次までです。

n番目のトリボナッチ数

トリボナッチ数列は0,0,1,1,2,4,7,13,24...ですが1番目の0を0番目として扱ってください。

因数分解(たすきがけ因数分解)(整数範囲)

たすきがけ因数分解をします。 整数範囲です。 式の形式は Px^2+Qx+R=(ax+b)(cx+d) とします。 左辺を右辺に因数分解します。 探索して適する数値が見つかった場合、出力します。

因数分解。√ 有り。整数範囲

因数分解の計算をします。 式の形式を (x^2 - m)=(x+a√b)(x-a√b),(m≠0) とします。整数範囲でa,bを探索し、結果を表示します。

素数生成式(近似)

数が少ないと発散するから気を付けて

円周率の近似値

nに任意の自然数を入力してください。

円周率の近似値(台形公式)

半径1の中の面積を台形公式で求める。

円周率の近似(正多角形)

アルキメデスの計算方法

n番目のフィボナッチ数列

1番目を1としている。

連分数を用いた円周率の近似

連分数を使用して円周率の近似値を出しています。

ネイピア数

連分数を用いてネイピア数を計算する。

対数の公式利用(式変形。係数を出す)

対数の式変形をします。 変形前の式の形式をlog_a xとします。 変形後の式の形式をr*log_a Mとします。 等式 log_a x=r*log_a M において、係数rを出して左辺を右辺に変形することを 考えます。このときのMを求めます。

対数の公式利用(係数を真数の指数へ)

対数の式を変形します。 係数を真数の指数にして消します。

πの近似

めっちゃ収束早いです。

正多角形による円周率の導出

正57角形で約3.14になります。

正多角形を利用した円の面積

正多角形を利用して円の面積を求めます。

正多角形から円周率を求める

正多角形から円周率を求めます

公約数を列挙します。

二つの自然数x,yの公約数を列挙します。 公約数をtとします。

ガンマ関数を用いた円周率の計算

ガンマ関数を用いて円周率を計算します。nが大きくなるほど円周率に近くなりますが、収束が遅く値が大きいとエラーが起きるため実用的ではありません。

公約数を列挙します。(３つの自然数で)

３つの自然数x,y,zの公約数を列挙します。 公約数をtとします。

素数計数関数の近似

与えられた数以下の素数の個数を近似します。ｎが大きいほど精度が高くなります。

素数計数関数の近似(高精度版)

任意の整数x以下の素数の個数を近似します。 1個目の答えが四捨五入したとき2個目の答えが計算結果をそのまま表示

N以下の約数関数の最大値(高度合成数の約数の個数)

d(N)=max{τ(x)|1<=x<=N}を計算します N<=10**36

n番目までの素数の個数の近似

精度は悪くはないです。

π(x)の近似

x以下の素数の数を計算します。精度が良くないです。

π(x)の近似

x以下の素数の数を計算します。

等比数列を作る

a0を初項、rを公比の等比数列を an = a0*(r)^n とした時、 n=1..N（N<=40）に対するanの値を出力する

二次関数のグラフが、x軸から切り取る線分の長さ

二次関数のグラフが、x軸から切り取る線分の長さを計算します。 これは放物線(軸垂直)とx軸の共有点について、共有点間の距離 となります。

excelでよくでる「e」を変換する

excelとかで計算していると、eが出てきますが、それ、ウザイですよね!? だったらこれでイチコロです!!

分数関数(一次／一次)のグラフ

分数関数(一次/一次)のグラフを描画します。 式の形式をy=g(x)/f(x),g(x)=ax+b,f(x)=cx+b (a,c≠0) とします。

分数関数(一次／一次)の変形

分数関数の変形を計算します。 分子式・分母式どちらも一次式の場合です。

n番目の素数の大きさ

n≥6においてn番目の素数がどの程度の大きさになるのかを提示します。

逆約分の計算(分子が未知)

分数の約分の逆操作をします。 いま、二つの分数が等号で結ばれており、 片方は分子が未知であるとします。 このとき、未知の分子の数値を出力します。

逆約分の計算(分母が未知)

分数の約分の逆操作をします。 いま、二つの分数が等号で結ばれており、 片方は分母が未知であるとします。 既知の数値は全て0ではないとします。 このとき、未知の分母の数値を出力します。

式の展開(7次)

式の展開を計算します。展開後7次式です。 式の形式は、左辺が　 k(x+a1)(x+a2)(x+a3)(x+a4)(x+a5)(x+a6)(x+a7) 右辺が未分配で k(p7x^7 + p6x^6 + ･･･ + p1x^1 + p0x^0) kの分配後 kp7x^7 + kp6x^6 + ･･･ + kp1x^1 + kp0x^0 です。左辺を右辺に展開します。

式の展開(八次)

式の展開をします。

x以下の素数の個数の近似

x以下の素数の個数を近似します。

球の体積

球の体積を正確に計算します。

加重平均を計算します。(データセット5個)

加重平均の計算をします。 データセットの個数は5個とします。

加重平均を計算します。(データセット2個)

加重平均の計算をします。 データセットの個数は2個とします。

式の展開をします。(二項定理によるn乗)

式の展開をします。 ここでは、x+aの二項のn乗を扱います。 式の形式を k{(x+a)^n}=k{xの多項式}=各項にkを分配した多項式 とします。

比例式と反比例式の交点

比例式と反比例式の交点を計算します。 式の形式を y=ax y=b/x とします。 a,bは0でない実数です。 また、b/aの数値は≧0とします。 交点の座標を求めます。

式の展開(九次)

式の展開をします。展開後xの九次式になる計算です。

係数のある三角関数の数値表　

係数のある三角関数の数値表を出力します。 式の形式を y0=a0*cos(n0*x) y1=a1*sin1*x) y2=a2*tan(n2*x) とします。

コサインの数値表

係数のあるコサインの数値表を出力します。 式の形式を y0=cos(x); y1=a*cos(x); y2=cos(n*x); y3=a*cos(n*x) とします。

作用点に対して釣り合うために力点にかける力の計算

作用点に対して釣り合うために力点にかける力の計算をします。てこの実験にお役立てください。

互いに素

ある自然数Ｎに対し、互いに素の関係にある自然数 （２～Ｎ-1の範囲）を列挙します。

２次関数を平方完成で変形します(2)

２次関数を平方完成で変形します。その２。

曲線の平行移動(二次曲線)

二次曲線の平行移動について計算します。

二次方程式改良

二次方程式ax^2+bx+c=0の解を求めます ルートが外れてきれいになるときは下半分の分数のところに表示されます

最大公約数と最小公倍数

二つの自然数AとBについて、最小公倍数・最大公約数を求める手順に関しての 数値を出力します。

逆階乗の数値検索

逆階乗の計算をします。 ２以上の自然数について、x=n!となる数値を調べます。 x=n!となる数値nをMとして、 大小関係が　L＜M＜H、L!＜M!＜H!　であるような L,M,H、L!,M!,H!　を出力します。