大家的自创式（数学）

进行幂运算。

根据基准量和比较量，计算出比例。

圆周率的计算（圆周与面积）

科拉茨猜想指出，对于任意正整数n，当： •n为偶数时，取n/2； •n为奇数时，取3n+1； 如此循环，经过有限次迭代后，结果必然趋于1。

计算幂余

利用勾股定理，求出正方形的对角线长度。

根据圆的周长，求圆的直径。

取任意正整数 n， 若 n 为偶数，则将 n 除以 2； 若 n 为奇数，则将 n 乘以 3 再加 1； 重复上述操作，最终结果将变为 1——这就是科拉茨猜想的示意图。当 n=27 时，重复 111 次即可得到 1。 据说若能证明该猜想，将获得 1 亿日元。

四则运算（基础内容）

可以生成最长50位的巨大质数。 不过速度很慢。一旦达到50位，就需要等待相当长的时间。

请在脑海中想一个你喜欢的数字（建议是3位数或4位数）。将该数字的各位数字重新排列， 分别组成最大的数和最小的数，然后计算它们的差值。 重复这个过程，有时会得到一个固定的数值。 （你喜欢的数字最多可选10位。如果是5位数会怎样？）

根据11位数字计算校验位。

将十进制数转换为n进制数（n≤34的任意整数）。

当T位于T2和T1的数值之间时，S的数值

计算二次函数图像 y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的顶点的 x、y 坐标。

因为在游戏中会有机会将数字翻倍，所以我制作了这个

计算指定数量的倒数。

计算正则连分数（至第n项）

评估输入的4位数字的复杂程度。

进行与二次函数相关的计算。 将y=ax² + bx + c变形为y=a(x-p)² + q。

根据圆的直径，求圆的周长。

使用欧几里得除法求出 a 和 b 的最小公倍数，并显示计算过程。

当整数a和p互质，且同余式 x²≡a (mod p) 有解时，称a为模p的平方余数。进行此计算。同时计算平方余数符号(a/p)。

“关于经过4个整数点的三次函数式”用

两个自然数，如果它们各自除以另一个数所得的约数之和相等，则称为“友爱数”（在《博士钟爱的公式》中也曾出现过）。 请输入两个数，看看它们的约数之和是否相等。

使用埃拉托斯特尼筛法可以显示100万以内的素数。

计算2×2方阵的n次幂。 虽然根据规格允许输入复数，但无法得到正确结果

生成代数表达式的因式分解题目。虽然生成的仅为单变量简单表达式，但也能生成三次式和四次式的题目。

将输入的自然数进行质因数分解。该方法结合了试除法和rho算法进行质因数分解。

显示科拉茨猜想的计算过程。

计算三重阶乘。

让我们在卡西欧计算网站上计算一下著名的公式 6/2(1+2) 最后更新于2022年2月22日

生成函数的增减表。 虽然只能生成简单的函数增减表，但应该可以覆盖《数学II》的范围。 请在方框中输入系数。如果没有该项，请输入0。 在智能手机上，可能会出现排版错乱的情况。 对√符号的处理较为困难。

海边站着n位美女。虽然这些美女都有排名，但在不知晓排名的情况下，我将逐一与她们见面。 究竟该邀请第几位呢？虽然显示的是第n-1位，但最后一位的排名不言自明吧。

计算加权平均值。 此处假设数据集包含10组数据。 此处的加权平均值计算采用加权算术平均法。 权重仅限于0以上的正数。 （对于超出限制的输入，将不进行输出）。 如果数据集少于10组， 请在x、w的输入栏中输入数值0（请勿留空）。

(x²+9x·y-y²)³ + (12x²-4x·y+2y²)³ = (9x²-7x·y-y²)³ + (10x²+2y²)³ 拉马努詹发现的这一恒等式，当x=1,y=0时，可以重现拉马努詹住院期间听到出租车号牌1729后，立即回答出1729=1³+12³=9³+10³的情景。

求两个数 a、b 的算术平均数、几何平均数、调和平均数、对数平均数、平方和平均数和立方和平均数。

请写下你喜欢的6个数字。然后将相邻两个数字相加后所得结果的个位数写在下一行。 重复这个过程，并在写完这6个数字的瞬间，准确说出最后得出的数字——这就是这道算术魔术。 （摘自三谷纯的推文）

过去，英国麦当劳的麦乐鸡块套餐包含6块、9块或20块。当购买多个套餐时，无法通过麦乐鸡块的总数来表示的最大值即为“非麦乐鸡块数”。将这一概念替换为不同面额的硬币，便是弗洛贝尼乌斯硬币交换问题。我们将进行相当于3枚硬币的计算。

计算二次函数的最大值和最小值。定义域设为闭区间。计算在相应的值域内的最大值和最小值。

计算四棱锥台的斜边

利用勾股定理求出三角形的斜边。

零除法的处理

在x中输入一个较大的数值， 即可计算出圆周率的近似值。

我们将研究自然数的因数个数及其因数之和。 在此，我们将采用最直接的方法，通过逐一除法进行统计。 （这也将作为对其他算法的验证。）

计算斐波那契数列、佩尔数列、帕多万数列和佩兰数列，并计算其相邻项的比值。 当n趋于无穷大时，该比值将分别趋于黄金比、白银比，而其余两个则趋于“塑料数”。

求自然数n的因数。 列举所有1以上n以下的、能整除n的自然数。 输出这些因数。

判断是否为质数。

计算约数函数σx(n)，该函数的取值为自然数 n 的约数 d 的 x 次幂之和。 当 σ1(n) = 2n 时，n 即为完全数。

根据三个点确定圆。 计算半径和圆心的坐标。 关于圆的一般方程，其形式为 x²+y²+lx+my+n=0。

虽然我觉得这可能没什么用，但如果您能尽量使用的话，我会很高兴。

a^b

时差计算器（精确到秒）

参考了用于计算从1的2次、3次方到x的2次、3次方之和的自定义公式，现已调整为可通过更改x和n的数值进行计算。

质因数分解（按质因数和指数排列显示）最后更新于2022年2月22日

计算斐波那契数列。

计算三角函数。

计算比例常数的变化率。

质因数分解（以质因数和指数的形式表示）（性能增强版）最后更新于2022年2月22日

进行埃及算法的计算。

可以生成简单的函数增减表。 该增减表生成器虽也由名为abcdefg85的账号发布，但制作者是同一人。 我们对代码进行了精简，并提高了可读性。

试着想一个你喜欢的正整数，将其各位数平方后相加，结果要么等于1，要么会落入4、16、37、58、89、145、42、20的循环中。

“关于经过4个整数点的三次函数式”支持分数表示

a到n的总和是……

这是一道仅凭和与差来求解两个数的计算题。

请在将y的系数设为相同时，表述这个二元一次方程。 求解x和y的值。

请输入任意一个自然数n。

计算该表达式的展开式。 这里处理的是x的五次多项式的情况。 表达式的形式为： (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)(x+e)=k5(x^5)+k4(x^4)+k3(x^3)+k2(x^2)+k1(x^1)+k0 。 k5、k4、k3、k2、k1、k0是展开后式中各项的系数。 将左边展开为右边。

埃拉托斯特尼筛法 最后更新于2022年2月22日

显示圆周率。

即使代入偶数也能成立，但结果并非整数 可应用于复数（？）（作者制作时并未预见到这一点）

这涉及编程方面的内容。我们将使用一个位数是被除数有效位数两倍的数值进行除法运算，从而得到商和余数。当然，这里处理的是整数。

计算三重阶乘。

计算斐波那契数列。

进行多项式计算。 假设每一项都是系数 a_n 乘以 x^n 的形式。 此处的最高次为 10。 系数 a_n 右侧的 n 是下标，取值范围为 0 到 10，并与 x^n 的指数 n 相对应。 a₀ 是常数项。 设 y = a10*(x^10) + a9*(x^9)… + a1*x + a0， 计算 y 的值并输出。 （* 表示乘法符号）

2022年全国统一考试数学I·数学A的第4题是关于不定方程（丢番图方程）的 5^4*x-2^4*y=1, 5^5*x-2^5*y=1, 11^5*x-2^5*y=1，要求求出其解。 一般而言，方程 a*x + b*y = gcd(a,b) 的解被称为贝祖等式。本题要求求出 x 和 y 的值。

彩惠里里（科学类新闻解说账号）在推特上分享了Valeriy G. Narushin等人发表于《纽约科学院年鉴》（Ann. N. Y. Acad. Sci.）2021年刊的论文《鸡蛋与数学：介绍一个描述鸡蛋形状的通用公式》，因此我也试着在卡西欧的高精度计算网站上进行了验证。

根据位数计算动态范围（理论值）。

这个公式是一个神奇的公式，当从a的平方中减去b的平方时，可以省去平方的计算步骤。 请先通过心算验证一下，然后再用这个公式试一试。

利用勾股定理求正三角形的高。

计算基于组合法的多项式除法。 这里考虑将最高次为10的x的多项式除以一元一次式(x-α)。 对于不存在的项，将其视为系数为0。

根据两个圆的切线以及两条切线之间的夹角计算半径的公式

排列的总和

★关于椭圆的习题　作图

计算三次曲线的最大值和最小值。 在定义域为闭区间的三次函数的值域内，计算该三次函数的 最大值和最小值。

计算猴子敲击打字机时，需要敲击多少次才能打出目标字符串。

求三次函数 f(x) = ax³ + bx² + cx + d 的极限时 x 的值。 d 在求导时会消失。

电压和电流校准中使用的误差率公式

只需复制到Excel单元格中即可求出四次方程根的公式

求解二次方程式。 若X和y重合，则为重根。

计算“互质”的自然数的个数。 对于某个自然数，计算在其连续自然数范围内互质的自然数的个数。

将三次根式的分母化为有理式。

对该式进行展开。 我们将处理x的六次多项式的情况。 该式的形式为 p(x+k1)(x+k2)(x+k3)(x+k4)(x+k5)(x+k6)=p{a6(x^6)+a5(x^5)+a4(x^4)+a3(x^3)+a2(x^2)+a1(x^1)+a0(x^0)} 。将左边展开为右边。 k、a、A右侧的下标（数字）是根据x的幂次而定的形式。 A是p分配后的系数数值。

埃拉托斯特尼筛法 最后更新于2022年2月22日

计算分数的四则运算。 对两个分数a和b进行加法、减法、乘法和除法运算。 此外，还会以小数形式显示各运算结果，供参考。 此处不涉及带分数。 输出的分数为“整数比分数”。

我特意用Å/s单位计算了速度，虽然有点多余。

据说在16世纪之前，为了将积转化为和以便快速计算，人们使用一种称为“Prosthaphaeresis”的方法，即利用公式 cos(a)cos(b) = (cos(a+b) + cos(a-b))/2。此后，借助对数表中的 log(ab) = log(a) + log(b) 这一性质，计算变得更加简便。让我们来看看吧。

求x的y次方

我们将进行与分数相关的计算。 这里我们考虑分数的n次幂。 假设所涉及的分数的分子是整数。 假设所涉及的分数的分母是非零整数。 分数的n次幂中的“n”是1以上的整数。 计算分数的n次幂。

(sin x)÷x 与 (tan x)÷x 的图形 最后更新于2022年2月22日

显示11个整数的最大公约数和最小公倍数　　　　　 最后更新于2022年2月27日

相对来说更容易成为质数 50位数是有其局限性的

分数→小数

用于验证

进行分数的化约。

输入题目数和答对数后，即可转换为分数。

论坛提问“√(2012-n的2……”的计算方法

这涉及编程方面的内容。 在处理整数时，数值会被四舍五入到有效位数，这确实是个问题。 实际上，要精确计算出乘法的结果，需要两倍的有效位数。

计算部分分数分解。 这里将“分子为一元一次式、分母为两个一元一次式乘积的分数式” 分解为“分子为常数、分母为一元一次式的分数式”的两种情况。 设式子形式为： (Lx+M)/(x+P)(x+Q) = a/(x+P) + b/(x+Q) 将左边按右边进行部分分数分解。

进行公式展开。

求三角函数的值。 在旧的三角函数中，“正矢”等术语也被用作“矢高”等。

求x/y的余数。

★关于椭圆的习题（椭圆上两点间的弧长C和角度n°）

将第1项设为1。

检查根号内的数值。 此处根号指用于计算n次方根的根号。 输入要求解的数值x。 输入n次方根的n。 输出可移出根号外的数值k。 输出根号内剩余的数值y。 作为验证，将k的n次方代入根号内，计算其与y的乘积。 确认是否已恢复出x。

求解联立方程组 ax+by=m, cx+dy=n

求圆的面积

进行埃及算法的计算。 这是一种将分数转化为单位分数之和的计算。 所谓单位分数，是指分子等于1的分数。 分数的分子和分母均为自然数。 这里我们考虑将其分解为两个单位分数的情况。 所采用的算法是逆约分循环型，这种类型通过将相同的自然数乘以待分解分数的分子和分母，从而提高分解的自由度。这与质因数分解相反，即通过构造合数进行探索，但作为对人工计算的模拟，使用自然数1、2、3……进行逆约分是一种很好的方法。 其结果可能与逐次减法算法不同。 这是因为单位分数的分解结果未必是唯一的。 由于搜索范围通常没有上限，若处理数值过大， 可能会导致超时，因此需对循环次数设定上限。

求等差数列的第N项

构建模 N 的等比数列。

通常其中一个是质数。 根据a的值不同，答案会呈指数级增长。

计算四边形（平行四边形、正方形、长方形、菱形）的面积。

进行埃及算法的计算。 这是将分数转化为单位分数之和的计算。 所谓单位分数，是指分子为1的分数。 分数的分子和分母均为自然数。 这里我们考虑将其分解为三个单位分数的情况。 所采用的算法是逆约分循环型，这种类型通过将相同的自然数乘以待分解分数的分子和分母，从而提高分解的自由度。这与质因数分解相反，即通过构造合数进行探索，但作为对人工计算的模拟，使用自然数1、2、3……进行逆约分是一种很好的方法。 其结果可能与逐次减法算法不同。 这是因为单位分数的分解结果未必是唯一的。 （此外，搜索范围通常没有上限，若处理的数值过大， 可能会出现超时情况）

拉马努詹的恒等式（附源代码）　　最后更新于2022年2月28日

求直线的y截距。 假设已知直线的斜率。 当该直线经过xy平面上的某一点时， 计算其y截距。

进行与分数相关的计算。 将输入的数值转换为整数比形式的分数。

探索线性方程的特解。 设方程形式为 ax+by=c。处理整数范围。 依次将整数代入 x，若 y 为整数且满足方程，则输出结果。 若未找到解，或输入超出限制范围，则不显示。

阿基米德的计算方法

我们将进行因式分解定理的计算。 范围涵盖至10次。 假设所有系数均为整数。 设表达式形式为 f(x)=a10x^10+a9x^9+…+a2x^2+a1x+a0。　

斐波那契数列是0,0,1,1,2,4,7,13,24……，但请将第一个0视为第0项。

正57边形的周长约为3.14。

来做鹤龟算。

计算源自詹姆斯·乔伊斯《尤利西斯》的数列 a_n = (n^(n^n) 的位数)。

计算该表达式的展开式。此处假设为四次式。 展开前的表达式形式为： k{(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)} 。 不进行k的分配后，展开式形式为： k{p4(x^4)+p3(x^3)+p2(x^2)+p1(x^1)+p0}。 进行k的分配后，展开式形式为： t4(x^4)+t3(x^3)+t2(x^2)+t1(x^1)+t0。

进行交替因式分解。 范围为整数。 设表达式形式为 Px²+Qx+R=(ax+b)(cx+d)。 将左边因式分解为右边。 若通过搜索找到合适的数值，则输出。

二次方程式的解的公式中的判别式D。关于这个D，我们将检查哪些数可以移出根号。 设D为自然数，且移出的数也仅限于自然数。

利用正多边形计算圆的面积。

进行与分数相关的计算。 在此，我们将考虑将复数除法（除法）的结果 以分数形式输出。 在计算输出分数时，应确保分子的实部和虚部均为整数。 在计算输出分数时，应确保分母为自然数。 同时，作为参考，还应输出该分数的分子除以分母所得的结果。 输入的分数分母必须为非零数值。 （输入的分数分母中，实部或虚部至少有一个不能为零。）

求扇形的面积。

正多边形的对角线数量

计算加权平均值。 此处假设数据集包含30组数据。 此处的加权平均计算采用加权算术平均。 权重仅限于0以上的正数。 （对于不符合限制的输入，将不进行输出）。 若数据集少于30组，请保留x、w输入栏的默认值0（请勿留空）。 输入的权重之和不要求为1。

判断置换的奇偶性。 这里以数字序列12345为例进行说明。 判断5个字符的置换σ是偶置换还是奇置换。 若为偶置换，则sgn(σ)= 1； 若为奇置换，则sgn(σ)=-1； 并将1或-1作为判断结果输出。 可表示为偶数个置换的乘积的置换称为偶置换， 可表示为奇数个置换的乘积的置换称为奇置换。 若为偶置换，则判定为偶，并输出1。 如果是奇置换，则判定为奇，并输出-1。 置换的奇偶判定有时会被用于行列式的定义。 在输入栏中输入12345置换后的结果（即想要检查奇偶性的数字序列）。 在置换的表示中，通常写在下方。 例如，若要判断将12345置换（顺序调换）后得到的12354的奇偶性， 则输入1=1、输入2=2、输入3=3、输入4=5、输入5=4。 程序将输出奇偶性判定结果。

我们将进行与三次曲线相关的计算。

利用连分数计算纳皮尔数。

计算切线的系数。 假设函数f(x)是一个二次及以上且不超过十次的多项式。 当确定待查的x坐标时，将输出以曲线上的点(x,f(x))为切点的切线方程的系数。

计算多个分数的加法和减法。 此处以10个为限。 进行减法运算时，请在分子中输入负数。 此时，分母中请输入不为0的正数。

可以表示任意数字的幂。

计算展开式。 这里将展开两个多项式的乘积。 设这两个多项式分别为f(x)和g(x)。 变量仅有一个x，且两者的次数均不超过5次。

拉马努詹公式　　最后更新于2025年5月1日

进行埃及算法的计算。 这是一种将分数转化为单位分数之和的计算。 所谓单位分数，是指分子为1的分数。 分数的分子和分母均为自然数。 这里我们考虑将其分解为4个单位分数的情况。 所采用的算法是逆约分循环型，这种类型通过将要分析的分数的分子和分母分别乘以相同的自然数，从而提高分解的自由度。这与因式分解相反，即通过构造合数来进行探索，但作为对人工计算的模拟，使用自然数1、2、3……进行逆约分是一个很好的方法。

判断置换的奇偶性。 这里以数字序列1234为例进行说明。 判断4个字符的置换σ是偶置换还是奇置换。 若为偶置换，则sgn(σ)= 1； 若为奇置换，则sgn(σ)=-1； 并将1或-1作为判断结果输出。 可表示为偶数个置换的乘积的置换称为偶置换， 可表示为奇数个置换的乘积的置换称为奇置换。 若是偶置换，则判定为偶，并输出1。 若是奇置换，则判定为奇，并输出-1。 置换的偶奇判定有时会被用于行列式的定义。

进行展开。展开后将得到一个关于x的九次式。

计算自然数1至n中包含的a、b的倍数的个数。 根据高斯符号。 n、a、b是自然数。 c是满足c=a*b的自然数。（*表示乘法）

将四次式除以二次式。 将四次多项式除以二次多项式。 设被除的四次多项式的形式为 ax^4+bx^3+cx^2+dx+e。 被除式（二次式）的形式为： lx²+mx+n。 商的形式为： Q2x²+Q1x+Q0。 余式的形式为： R1x+R0。 Q、R右侧的数字是下标，与x的次数相一致。

根据4个点确定三次及以下曲线。 根据4个不同的xy坐标求解三次方程的系数。 不过，此处允许a为0的情况， 因此也会输出三次及以下的方程。 方程的形式设为y=ax³+bx²+cx+d。 （不排除 a=0 的情况） 为便于参考，计算将在复数范围内进行。

数量太少的话会发散，请注意

该公式用于求解方程“z^N=a+b*i”。

进行因式分解。 这里仅讨论整数范围。设表达式形式为： x² + (a+b)x + a*b = (x+a)(x+b) （*表示乘法，+表示加法。x²表示“x的平方”。） 我们来找出和(a+b)和积(a*b)。

求圆周率！

接下来要谈的是编程方面的问题。 当加法运算的结果超出有效位数时，会转为指数表示形式，导致最末一位被舍去； 但通过在加法运算时进行特殊处理，可以避免舍位，从而实现进位。

对于某个自然数Ｎ，列举其互素的自然数 （范围为２～Ｎ-1）。

二项分布中，近似于正态分布的95%置信区间的下限

判断置换的奇偶性。 这里以数字序列123为例进行置换。 判断3个字符的置换σ是偶数还是奇数。 若为偶数，则sgn(σ)= 1； 若为奇数，则sgn(σ)=-1； 并将1或-1作为判断结果输出。

计算部分分数分解。 假设分子和分母均为数字，而非代数表达式。 这并非为积分做准备而进行的部分分数展开，而是将分子和分母均为具体数字的分数 分解为两个分数。 分解后的两个分数均为单位分数。 待分解分数的分子等于展开后两个单位分数的分母之差。 待分解分数的分子等于展开后两个单位分数的分母之差。 待分解分数的分母等于展开后两个单位分数的分母之积。 设表达式形式为 n/m=(1/a)-(1/b) 将左边展开为右边。 n=b-a m=a*b 求解a、b在整数范围内的值。 （b-a为减法，a*b为乘法）

无限嵌套的平方根计算

通过正多边形求圆周率

并不一定都是质数。

收敛得特别快。

计算部分分式分解。 在此，我们将分子为二次式、分母为三次式的分式， 分解为分子为常数、分母为一次式的三个项之和的形式。 形式为： (Lx^3+Mx^2+N)/(x+P)(x+Q)(x+R)=(a/(x+P))+(b/(x+Q))+(c/(x+R)) 。 我们将进行左边向右边进行部分分数分解的计算。

计算三次方程的判别式值。 设三次方程的形式为 ax³+bx²+cx+d=0。 考虑所有系数均为实数的情况。 计算此时判别式的值。 当判别式的值为0时，方程有重根； 当判别式的值为正时，方程有两个不同的实数解； 当判别式的值为负时，方程有一个实数解和两个互为共轭的虚数解。

请输入任意一个自然数作为n。

给定一个连续的自然数范围， 检查这些数能否被两个不同的自然数整除， 并汇总结果。

同上，上限。

进行因式分解计算。 设表达式形式为 (x² - m) = (x + a√b)(x - a√b)，其中 m ≠ 0。 在整数范围内搜索 a 和 b，并显示结果。

进行单数转换的计算。 自然数n的各位数字为0至9。计算这些数字的总和，若结果大于等于10， 则将其作为新的n，并计算其各位数字之和。 重复此步骤，直到结果在1至9之间。 0的单数转换结果仍为0。

判断置换的奇偶性。 这里以数字序列123456的置换为例。 判断6个字符的置换σ是偶置换还是奇置换。 若为偶置换，则sgn(σ)= 1（一）; 若为奇置换，则sgn(σ)= -1（负一）; 并以; 1、-1作为判定结果输出。 可表示为偶数个互换乘积的置换称为偶置换， 可表示为奇数个互换乘积的置换称为奇置换。 如果是偶置换，则判定为偶，并输出1。 如果是奇置换，则判定为奇，并输出-1。 置换的奇偶判定有时会被用于行列式的定义。 在输入栏中输入需要判断奇偶的数字序列（即对123456进行置换后得到的数字字符串）。 在置换的表示法中，该判定通常写在下段。 例如，若要判断将123456置换（重新排列顺序）后得到的123564的奇偶性， 则从上至下分别输入：输入1=1、输入2=2、输入3=3、输入4=5、输入5=6、输入6=4。 输出奇偶判定结果。 输入1、2、3、4、5、6中需输入1、2、3、4、5、6中的任意一个数字。 输入1、2、3、4、5、6中需输入不重复且各不相同的数字。

试用

计算小于x的素数的个数。

计算约数的个数与和。 对于由三个素数P、Q、R作为质因子的合数，考虑其正约数的个数及和。 P、Q、R均限定为小于1000的素数。

单位圆周上的一段

为了使力与支点达到平衡，我们将计算作用于支点上的力。希望这对您的杠杆实验有所帮助。

本文将说明当n≥6时，第n个素数的数量级大约是多少。

计算 d(N) = max{τ(x) | 1 ≤ x ≤ N} N ≤ 10³⁶

计算部分分式分解。 在此，我们将分子为三次式、分母为四次式的分式， 转化为分子为常数、分母为一次式的四项和。 设该分式的形式为： (Kx^3+Lx^2+Mx^1+N)/(x+P)(x+Q)(x+R)(x+S)=a/(x+P)+b/(x+Q)+c/(x+R)+d/(x+S) 。将左边按右边的形式进行部分分数分解。

用Excel之类的软件计算时，总会跳出“e”这个符号，真的很烦人吧！？ 如果是这样，用这个就能轻松搞定！！

计算自然数n的数字个数（十进制）。 将每个数位上的数字视为1个，计算其和。

精确计算球的体积。

我们将进行与单位分数和相关的计算。 在电磁学中，串联合成电容和并联合成电阻的计算公式形式为： 1/R=(1/r1)+(1/r2)+…(1/rn)， 1/C=(1/c1)+(1/c2)+…(1/cn) 左右两边均为单位分数的等式。（单位分数是指分子为1的分数） 在此，我们将处理右边项数最多为20个的情况。求左边的分母。

对分数函数进行变形。 设原分数函数的形式为 y=(ax+b)/(cx+d)。 设变形后的形式为 y={k/(x-p)}+q。

其中一个方程包含二次项，求解二元联立方程组 ax²+by²+cx+dy=m, fx+gy=n 中的 y 值（仅求其中一方）。

利用伽马函数计算圆周率。虽然n越大，结果就越接近圆周率，但由于收敛较慢，且数值过大时会产生误差，因此并不实用。

利用梯形公式计算半径为1的圆内面积。

进行公式展开。计算展开后为三次式的结果。 假设展开前的公式形式为 k(x+a)(x+b)(x+c)。 假设展开后关于 x 的三次式形式为 A(x³) + B(x²) + C(x¹) + D。 请输入k、a、b、c。计算并输出展开后的A、B、C、D。

我们将进行与平方根计算规则相关的计算。 在此，我们将检查根号内的数值，并判断是否存在可以移出根号外的数值。 设根号内的数值为n。n取非负实数。 将检查前的表达式形式记为 √n。 将检查后的表达式形式记为 k√m。 检查的处理内容是将 n 视为 m*(k^2)，并将 k 移出根号外。 作为复核，再次计算 m*(k^2)，并与 n 并列显示。 最后将 √n 的值与 √m*(k^2) 的值并列显示。

判断置换的奇偶性。 这里以数字序列123456789的置换为例。 判断9个字符的置换σ是偶置换还是奇置换。 如果是偶置换，则sgn(σ)= 1（一）； 如果是奇置换，则sgn(σ)= -1（负一）； 并将1或-1作为判断结果输出。 可表示为偶数个置换的乘积的置换称为偶置换， 可表示为奇数个置换的乘积的置换称为奇置换。 如果是偶置换，则判定为偶，并输出1。 如果是奇置换，则判定为奇数，并输出-1。 置换的奇偶判定有时会被用于行列式的定义。 在输入栏中输入需要判断奇偶的数字序列（即对123456789进行置换后得到的数字字符串）。 在置换的表示中，该判定通常写在下方。 例如，若要判断将123456789置换（重新排列顺序）后得到的876512349的奇偶性， 请按顺序输入：输入1=8、输入2=7、输入3=6、输入4=5、输入5=1、输入6=2、输入7=3、输入8=4、输入9=9。

对该式进行展开。 这里将进行交叉乘法因式分解的逆运算。 设该式的形式为： (ax+b)(cx+d)=L(x^2)+Mx+N 将左边展开到右边。

计算表达式的展开式。此处指展开为二次式的情况。 假设展开前的表达式形式为(ax+b)(cx+d)。 假设展开后的表达式形式为P*(x^2)+Q*(x^1)+R。（*表示乘法） 请将a、b、c、d作为分数输入。 分子和分母的输入栏请输入整数。 a、c的分子请输入非零数值。 a、b、cd的分母请输入非零数值。 输入和输出均不支持带分数形式。 不支持复数（虚部不为零的非实数）。

我们将进行联立方程的求解。 在此，我们以x、y的二元联立方程为例，考虑乘和形式的情况。 设方程的形式为： u=kxy+c m=ax+by 且系数k、a、b均不为零。

计算部分分数分解。 这里将讨论“分子为常数、分母为一元一次式的分数式”分解为两项的情况。 设式子形式为： (Lx+M)/(x+P)(x+Q) = a/(x+P) + b/(x+Q) 将左边按右边进行部分分数分解。

我们来检查二次方程的判别式D。 考虑二次方程 ax² + bx + c = 0。 a、b 是系数，c 是常数项。假设 a ≠ 0。 这里我们处理判别式D的数值为正且为整数比的分数的情况。 针对求根公式中√D的部分，检查是否有可以移出根号外的分子和分母。 即分子和分母均为自然数的情况。（分子可以为0） 检查前的形式记为√D。 检查后的形式记为k√E。 k是移出根号外的分数。E是留在根号内的分数。

对该式进行展开。这是x的多项式之间的乘积。 这里我们将讨论由两个二次式相乘得到四次式的情况。 设表达式形式为： (ax²+bx+c)(px²+qx+r)=k4x⁴+k3x³+k2x²+k1x+k0 。 将左边表达式展开为右边表达式。 系数k右侧的数字是下标，与x的幂次相对应。

计算该表达式的展开式。展开后为七次式。 表达式的形式为：左边为　 k(x+a1)(x+a2)(x+a3)(x+a4)(x+a5)(x+a6)(x+a7) 右边为未展开形式 k(p7x^7 + p6x^6 + ･･･ + p1x^1 + p0x^0) 分配k后： kp7x^7 + kp6x^6 + ･･･ + kp1x^1 + kp0x^0 将左边展开为右边。

列举两个自然数x和y的公因数。 设公因数为t。

用二次多项式除以三次多项式。

寻找线性方程组的特解。 范围为整数。 方程形式为 ax+by=c。

判断置换的奇偶性。 这里以数字序列12345678的置换为例。 判断8个字符的置换σ是偶置换还是奇置换。 若为偶置换，则sgn(σ)= 1（一）； 若为奇置换，则sgn(σ)= -1（负一）； 并将1、-1作为判断结果输出。 可表示为偶数个互换乘积的置换称为偶置换， 可表示为奇数个互换乘积的置换称为奇置换。 如果是偶置换，则判定为偶，并输出1。 如果是奇置换，则判定为奇数，并输出-1。 置换的奇偶判定有时会被用于行列式的定义。 在输入栏中输入需要判断奇偶的数字序列（即对12345678进行置换后得到的数字字符串）。 在置换的表示法中，这通常写在下段。 例如，若要判断将12345678置换（顺序打乱）后得到的87651234的奇偶性， 请按从上到下的顺序输入：输入1=8、输入2=7、输入3=6、输入4=5、输入5=1、输入6=2、输入7=3、输入8=4。 程序将输出奇偶性判定结果。

电阻计校准所用的计算公式

在《日经科学》2025年1月号的特辑《和算再发现》中，佐藤贤一的文章《算圣关孝和的真实面貌》提到了圆弧平方的近似公式，我们将通过对比该公式与精确值来检验其精度。不过，圆的直径固定为1。

对小于或等于任意整数x的素数的个数进行近似计算。 第一个结果四舍五入后，第二个结果直接显示计算结果

我们将进行与二元一次联立方程相关的计算。 方程的形式为： ax + by = e cx + dy = f 我们将这两个方程都变换为“y = ～”的形式，并在xy平面上通过图形进行分析， 观察这两条直线是平行，还是重合。 方程的形式为： y=m1x+n1 y=m2x+n2 其中n1、n2即为y截距。 m1、m2为直线的斜率。若斜率相等，则两直线平行。 此外，若y截距相等，则两直线重合。 此处不使用逆矩阵，也不采用基于缩放系数矩阵的消元法。 首先消去y，求出x，然后代入y=m1x+n1进行计算。 当直线不平行时，输出解x,y。 不处理无解、不定解及任意常数的情况。 不处理复数（虚部不为0的非实数）。

cubicEquation 函数

设a0为首项、r为公比的等比数列为 an = a0*(r)^n，则： 请输出n=1..N（N<=40）时an的值

计算加权乘积平均值。 数据集最多包含10个数据点。 输入时，权重之和不一定等于1。 将计算并显示权重的重新分配方案，以确保其总和为1。 加权乘积平均的典型应用示例包括实际汇率等。 请将数据集中的每个数据作为分数输入。 请以小数形式输出加权乘积平均值。

针对两个自然数A和B，输出关于求最小公倍数和最大公约数步骤的 数值。

利用连分数计算出了圆周率的近似值。

对于连续的自然数n0到n1， 检查它们能否被三个自然数a、b、c整除， 并统计其次数。

当某个单位分数是两个单位分数之和时，求其分母。 这与埃及算术相关。 这是单位分数分解的逆运算。 设表达式形式为(1/A)+(1/B)=1/C。（/表示除法符号） 各分子的值为1。 A、B、C是分母。A、B已知，C是待求的未知数。 A、B、C均为2以上的自然数。 A、B是不同的自然数。

四次方程函数

计算小于x的素数的个数。精度不高。

立方方程公式

判断置换的奇偶性。 这里以数字序列1234567的置换为例。 判断7个字符的置换σ是偶置换还是奇置换。 若为偶置换，则sgn(σ)= 1（一）； 若为奇置换，则sgn(σ)= -1（负一）； 并输出1或-1作为判断结果。 可表示为偶数个置换的乘积的置换称为偶置换， 可表示为奇数个置换的乘积的置换称为奇置换。 如果是偶置换，则判定为偶，并输出1。 如果是奇置换，则判定为奇数，并输出-1。 置换的奇偶判定有时会被用于行列式的定义。 在输入栏中输入需要判断奇偶的数字序列（即对1234567进行置换后得到的数字字符串）。 在置换的表示法中，通常写在下段。 例如，若要判断将1234567置换（顺序打乱）后得到的7651234的奇偶性， 请按从上到下的顺序输入：输入1=7、输入2=6、输入3=5、输入4=1、输入5=2、输入6=3、输入7=4。

计算分数式的通分。 假设分子和分母均为x的一元一次式。 设通分前的形式为： (mx+n)/(ax+b)+(px+q)/(ax+b) 设通分后的表达式形式为： (k0(x^2)+k1x+k2)/(t0(x^2)+t1x+t2) 。 不进行约分等简化操作，直接按原样表示。

当自然数n大于两个不同的自然数a、b时， 探究满足“除以自然数a余数为Ra， 除以自然数b余数为Rb”的自然数的最大值和最小值。

计算导数的系数。 考虑对最高五次多项式进行求导。（指数为0以上5以下的整数。） 求一阶导数和二阶导数的系数。（系数取实数范围）

求二次方程 ax² + bx + c = 0 的解。 当根号被化出且表达式变得简洁时，结果将显示在下半部分的分数中。

进行表达式的展开。 我们将处理四个一元一次式的乘积。 设表达式形式为： (ax+b)(cx+d)(ex+f)(gx+h)=k4x^4+k3x^3+k2x^2+k1x+k0 。 将左边展开为右边。

计算部分分式分解。 我们将处理分子为x的二次式、分母为两个一次式乘积的分式。 设表达式形式为： (x^2+Lx+M)/(x+P)(x+Q) = a/(x+P)+(x+b)/(x+Q) 其中x^2的系数为1。 将左边按右边进行部分分数分解。

计算逆阶乘。 对于2及以上的自然数，求满足x=n!的数值。 将满足x=n!的数值n记为M， 输出满足大小关系L＜M＜H、L!＜M!＜H!的 L、M、H，以及L!、M!、H!。

求x及以下素数的近似个数。

输出含有系数的三角函数数值表。 假设公式形式为： y0=a0*cos(n0*x) y1=a1*sin(n1*x) y2=a2*tan(n2*x)

计算正比例方程与反比例方程的交点。 设方程形式为： y=ax y=b/x 其中，a、b为非零实数。 此外，b/a的数值不小于0。 求交点的坐标。

我们将对该式进行展开。 这里，我们将处理x+a的n次幂。 设该式的形式为： k{(x+a)^n}=k{x的多项式}=将k分配到各项后的多项式。

计算无理函数的切线。 设无理函数的表达式形式为 y=k+a√x。 求切线方程的系数和常数项。

计算加权平均值。 假设数据集共有2个。

计算该表达式的展开式。 此处假设展开后为二次式。 表达式的形式为： P(x+a)(x+b)=P(j2x^2+j1x+j0) 将P展开， =k2x^2+k1x+k0 将左边展开到右边。 字母j、k右侧的数字是下标，与x的幂次相对应。 （j0、k0是常数项）

通过配方法对二次函数进行变形。其二。

计算二次函数图像与x轴相交的线段长度。 这即为抛物线（垂直于x轴）与x轴的交点之间距离。

进行对数表达式的变形。 设变形前的表达式形式为 log_a x。 设变形后的表达式形式为 r*log_a M。 在等式 log_a x=r*log_a M 中，考虑将系数 r 提取出来，并将左边变形为右边。 求此时的 M。

对数表达式进行变形。 将系数作为底数的指数，从而消去。

计算该表达式的展开式。 这是三个一次式的乘积。 设该表达式的形式为 (ax+b)(cx+d)(ex+f)=k3x^3+k2x^2+k1x+k0 。 将左边展开为右边。

精度还不错。

列举三个自然数x、y、z的公因数。 设公因数为t。

虽然市面上已有用于计算悬架定位变化的程序，但价格昂贵，所以我试着自己做了一个。

执行分数简化的逆运算。 目前，两个分数通过等号连接， 假设其中一个分数的分子未知。 此时，将输出未知分子的数值。

该函数用于近似计算小于给定数的素数的个数。n越大，精度越高。

计算该表达式的展开式。 此处假设展开后为三次式。 表达式的形式为： P(x+a)(x+b)(x+c)=p(j3x^3+j2x^2+j1x+j0) 将P展开，得： =k3x^3+k2x^2+k1x+k0 。将左边展开为右边。 字母j、k右侧的数字是下标，与x的幂次相对应。 （j0、k0是常数项）

输出含系数的余弦函数数值表。 公式形式如下： y0=cos(x); y1=a*cos(x); y2=cos(n*x); y3=a*cos(n*x)

计算加权平均值。 假设数据集包含5个数据点。

绘制分数函数（一次/一次）的图像。 设表达式形式为 y=g(x)/f(x)、g(x)=ax+b、f(x)=cx+b（a,c≠0）。

执行分数化简的逆运算。 目前，两个分数通过等号相连， 假设其中一个的分母未知。 假设所有已知数值均不为0。 此时，输出未知分母的数值。

计算分数函数的变形。 此处假设分子和分母均为一次式。

计算二次曲线的平移。

计算傅里叶级数。输入函数 f(x)（范围为 -L ≤ x ≤ L，周期为 2L），并通过积分求得系数。

对于正整数 n，将从 1 到 n 之间与 n 互质的自然数的个数记为 φ(n)，称为欧拉φ函数或托森特函数。

使用DKA法求解五次方程。系数可以是复数。

使用DKA法求解六次方程。系数可以是复数。

求解Stern-Brocot树，并求出给定正实数的近似分数。

兰伯特W函数是 z=w*exp(w) 的逆函数 w=W(z)。除了主解外，还可以计算到第k个解。 若为主要解，请设 k=0。

计算阿克曼函数 Ack(m,n)。众所周知，当 m 增大时，该函数的值会变得极其庞大。 遗憾的是，目前只能计算到 m=4, n=2……（这是本网站能处理的极限）

通过拉格朗日插值求解经过n+1个点（所有点的x坐标均不同）的n次多项式。 即使n小于11且不需要，请在输入时仍填写0。

我们将比较作为计算圆周率公式而闻名的拉马努詹公式与楚德诺夫斯基兄弟公式。 这两者都以收敛极快而著称。

差为2的两个素数称为双子素数。下面计算这些双子素数。

求佩尔方程（Pell's equation）X² - NY² = ±1 的最小整数解(X,Y)及其下一整数解。 其中N为非平方数的正整数。

使用DKA法求解n次方程：a(n)*x^n + a(n-1)*x^(n-1) + ... + a1*x + a0 = 0。 n的最大值为20。计算20次及以下方程时，请将多余的高次系数设为0。系数可以是复数。

将56倒过来变成65，相加后得到121，这样就变成了回文数。重复这种操作，例如57→57+75=132→132+231=363，仅需两次即可变成回文数；89需要24次，10911则需要55次才能变成回文数。无论重复多少次都无法变成回文数的，就是Lychrel数。196是其中最小的候选数。

四元数

我们将验证筑波大学的高桥等人用于计算出2万5769亿8037万位圆周率的AGM法（高斯-卢贾德尔算法，算术几何平均法）。 以a0=1、b0=1/√2、t0=1/4、p0=1为初始值， an+1 = (an + bn) / 2 bn+1 = √(anbn) tn+1 = tn - pn * (an+1 - an)^2 pn+1 = 2*pn 据此，通过以下公式进行计算： π≒(an + bn)^2 / (4*tn) 。

生成服从泊松分布 P(X=n) = exp(-λ)λ^n / n! 的随机数。

使用二元纽顿-拉夫森法，求解满足 f(x,y)=0 和 g(x,y)=0 的 x 和 y。 还需要 ∂f／∂x、∂f／∂y、∂g／∂x 和 ∂g／∂y。

“合同数”是指所有边长均为有理数的直角三角形的面积， 我们将对此进行判定。请假设待判定的数不含有平方因数（即无法表示为 n=q*k² 的形式）。 此处利用坦内尔定理（Tunnell's theorem）进行判定。

分割数p(n)是指自然数n（不分顺序）能用多少种不同的自然数之和（包含n本身）来表示。 由于拉马努詹与哈代的电影《奇迹》对此进行了大量探讨，为纪念该片上映， 我们将计算严格的分割数p(n)以及拉马努詹-哈代渐近公式。计算范围上限为n=250。

印度的弦理论研究者阿纳布·普里亚·萨哈（Arnab Priya Saha）和阿尼达·辛哈（Aninda Sinha）在论文《弦理论振幅的场论展开》（Field Theory Expansions of String Theory Amplitudes）中推导出了一个新的圆周率公式。下面我们将对此进行验证。

素数判定

这是出自《通向天际的数字》（加藤文元、中井保行著）一书中佩雷利曼数列（即平方后等于原数的数列）的计算。

n!的末尾有多少个0

Jesús Guillera 发现了一个能以惊人速度收敛的圆周率Π公式。我们来试一试吧。 与拉马努詹公式和楚德诺夫斯基兄弟的公式相比，或许会很有趣。

dx/dt=f1(x,y,z,w,t) dy/dt=f2(x,y,z,w,t) dz/dt=f3(x,y,z,w,t) dw/dt=f4(x,y,z,w,t) 使用龙格-库塔法（4阶4步）求解上述四变量常微分方程。

西蒙·普卢夫（Simon Plouffe）在题为《π及其幂的第n位十进制或二进制数值的计算公式》的论文中，给出了计算圆周率π任意位数值的公式。我们将对此进行验证。不过，本网站目前仅支持计算至50位。

这是狄利克雷的η函数。

对实对称矩阵进行数值对角化。 这里将对一个3×3的实对称矩阵进行对角化。

寻找给定实数开区间的近似分数。

利用高精度计算， Google Code Jam 2008 - Round 1A - Problem C. Numbers http://code.google.com/codejam/contest/dashboard?c=32016#s=p2 尝试用蛮力解法解决。 由于 n ≤ 69 时整数部分的精度有保障，因此，

可以计算球面三角形的面积。

计算三个3×3方阵的乘积。 计算三个3×3方阵A、B、C的乘积： AB=A*B ABC=(A*B)*C 并输出结果。（从左到右依次相乘。）

实数的有理数逼近

三角函数 sin(x)、cos(x) 和 tan(x) 的表格与图表

对三维向量进行归一化（标准化）。 设待归一化的向量v的分量为v1、v2、v3。 设v的大小为r。 设归一化后的向量u的分量为u1、u2、u3。

计算二阶方阵的平方根。 给定一个二阶方阵 M，求满足 M=X² 的二阶方阵 X。在此，我们将 X 称为 M 的平方根。这相当于考虑普通数值的开方运算（根号符号 √）。

进行与三阶方阵相关的计算。 1) 输出特征方程的系数。特征方程的形式设为 k0λ³ + k1λ² + k3λ + k4 = 0。 2) 计算子行列式的值。 3) 计算余因子的值。 4) 计算余因子矩阵。 5) 根据萨拉斯图计算行列式的值。 6) 若根据萨拉斯图计算出的行列式值不为0，则计算其倒数。

我们将进行与四阶方阵相关的计算。 在此，我们将计算子行列式的值、余因子以及余因子矩阵。 此外，程序还将输出作为参考输入的四阶方阵的行列式值及其倒数。

计算标量三积。 假设xyz空间坐标系为右手系。 设向量b与c的外积为bc。 计算a与bc的内积，从而求得标量三积的值。

计算三维向量的方向余弦。 设向量为a。起点为原点。

利用a、b和cos的值求出c的值

我们来验证《费马图书馆》中提到的以下内容： 利奥维尔证明了一个数的所有因数的因数具有以下性质： 1) 取一个数（例如 10） 2) 列出该数的因数（1,2,5,10） 3) 列出每个因数的因数个数（1,2,2,4） 4) (1+2+2+4)²=81=1³+2³+2³+4³

推导四次多项式的系数。 设表达式形式为 k⁴*λ⁴ + k³*λ³ + k²*λ² + k¹*λ + k₀。

将二维向量归一化（规范化）为单位向量。 设归一化前向量v的分量为v1、v2。 设向量的大小为r。 设归一化后向量u的分量为u1、u2。

通过指定输入1和输入2，可以生成任意一个毕达哥拉斯数。不过，必须满足m>n。

计算二阶方阵的特征方程。 显示特征方程的系数。 特征方程是二元一次方程，计算判别式D的值。 同时显示判别式的平方根。 输出特征方程的解。 若存在重根，则显示两个解。当判别式值为0时，即为重根。

求二次函数的顶点。

进行四元数的计算。 计算两个四元数Q1和Q2的绝对值、逆元以及它们的乘积Q1Q2和Q2Q1。

对于 y=1/(1+x²) 这一圆的方程，在 x=[0,1] 区间内的积分值均为 π/4（1/4 圆），因此两者相等。

在表格中显示毕达哥拉斯数

请输入任意一个自然数 n。

a

我们将计算二阶向量与旋转矩阵的乘积。 假设A、B是二维向量。 R是一个二阶方阵，即旋转矩阵。 计算B=R*A。

计算三次特征方程（特性方程）的系数。 由于要考虑三次正方矩阵的特征值问题， 因此将从3行3列的行列式推导出特征方程。 三次特征方程的形式为： -(λ³)+m*(λ²)+n*(λ¹)+常数项。 最高次项（λ³）的系数保持为-1。 计算并输出λ²项的系数、λ¹项的系数以及常数项。 特征方程的形式将以展开后的形式显示。

进行与3×3方阵相关的计算。 计算3×3方阵特征方程的系数并求解。 设特征方程的形式为 a(λ³) + b(λ²) + cλ + d = 0。 (1) 求3×3方阵特征方程的系数。 (2) 将各系数除以λ的最高次(3)的系数(-1)，并显示结果。 (3) 显示特征方程的近似解。 (4) 作为验证，显示将近似解代入公式后的结果等。 (5) 当系数b、c、d为整数时，使用因式定理；若找到解，则显示结果。

请输入任意一个自然数n。 不支持16以上的数字。

计算两个向量a、b的内积的余弦cosθ的值。

计算双对数函数（Dilogarithm）的值。 可在 x∈(-∞,1] 范围内进行计算。 当 x>1 时，Li(2,x) 不会取实数，且该函数未实现，因此将返回 0 作为错误。

计算将旋转矩阵与二阶方阵相乘的结果。 将二阶方阵A与旋转矩阵P的逆矩阵Q从右向左相乘，得到矩阵QA； 接着将旋转矩阵P与QA从右向左相乘，得到矩阵QAP。 设P的元素为（Q右侧的数字表示行号和列号）， P11=cosθ P12=-sinθ P21=sinθ P22=cosθ （θ以弧度为单位）。

对四维向量进行归一化（规范化）。 设待归一化的向量v的分量为v1, v2, v3, v4。 设v的大小为r。 设归一化后的向量u的分量为u1, u2, u3, u4。

计算向量a、b的内积与余弦cosθ的乘积。

计算三个4×4矩阵的乘积。 设三个4×4矩阵分别为A、B和C，首先计算AB=A*B，然后计算ABC=AB*C。 AB和ABC也是4×4矩阵。输出结果ABC。（*表示矩阵乘积）

计算2行2列的行列式。 这里处理以复数分数为元素的情况。 设a为第1行第1列的元素。 设b为第1行第2列的元素。 设c为第2行第1列的元素。 设d为第2行第2列的元素。 输入时，a、b、c、d应作为分数输入。 a、b、c、d的分母需输入非零数值。 a、b、c、d的分子和分母均需在复数范围内输入。

我们来计算二阶方阵x上的二次式。 考虑由二阶方阵构成的多项式。 这是关于二阶方阵x的二次整式。 设表达式形式为 y = aL*x*x*aR + bL*x*bR + c。 （*表示矩阵的乘积，+表示矩阵的和。 乘积是将右侧矩阵依次与左侧矩阵相乘。） aL、aR、bL、bR、c、x、y均为二阶方阵。

计算三个二阶方阵的乘积。 计算三个二阶方阵A、B、C的乘积： AB=A*B ABC=(A*B)*C 并输出结果。（从左到右依次相乘。）

计算二阶方阵的三次式。 设 y, x, aL, aR, bL, bR, cL, cR, d 为二阶方阵。 式子形式为： y = aL * x * x * x * aR + bL * x * x * bR + cL * x * cR + d 这模仿了关于“普通数”x的三次式 y = ax³ + bx² + cx + d。 L、R 表示相对于 x 的幂次在左侧或右侧的位置。 * 表示矩阵之间的乘法，即用右侧的矩阵乘以左侧的矩阵。 多个 * 的组合，即依次将右侧的矩阵乘以左侧的矩阵。 最后将各项相加。

计算向量的正投影。

我们将推导特征方程的系数。 这里讨论五阶方阵的情况。 （五阶特征方程）

这是当二阶方阵为实对称矩阵时的数值对角化方法。 由于是二阶方阵且为对称矩阵，因此可以省略“寻找绝对值最大的非对角元素”这一步骤，从而简化了操作。 此外，将其转化为『cos2θ和sin2θ』的一阶表达式后，周期也会被压缩，从而改善了二分法在区间确定和缩短方面的效果。 在缩小的区间内进行牛顿近似。 精度方面，每次将区间划分数设为100，区间宽度设为0.1^15，牛顿近似则降至0.1^20。

计算四元数的n次幂。 设表达式形式为 q=a+bi+cj+dk， y=q^n。 i、j、k 分别是各虚数单位。 a、b、c、d 分别是实部和各虚部。

这是n维球体体积的推广

输出行列式展开时的符号和下标。 以下是五次的情况。 列举符号以及元素的下标 n 和 σ(n)。 n=1,2,3,4,5。

显示莱维-奇维塔符号的值。 此处设为ε。 设数字集合为{1,2,3,4}。 当该集合被替换为由下标t1,t2,t3,t4构成的集合{t1,t2,t3,t4}时， 其值会根据替换是偶置换、奇置换还是其他情况而变化。 将ε的值与t1,t2,t3,t4并列列举。 但仅输出ε=+1、-1的情况，ε=0的组合予以省略。

显示莱维-奇维塔符号的值。 此处设为ε。 设数字集为{1,2,3,4,5}。 当该集合被替换为带有下标t1、t2、t3、t4的集合{t1,t2,t3,t4,t5}时， 其值会因替换属于偶置换、奇置换还是其他情况而发生变化。 将ε的值与t1、t2、t3、t4、t5排列并列举出来。 但仅将ε=+1、-1的情况输出到表格中，ε=0的组合则省略。

显示列维-奇维塔符号的值。 这里设为ε。 设数字集为{1,2,3}。 当该集被替换为由下标i,j,k组成的集{i,j,k}时， 其值会因替换是偶置换、奇置换还是其他情况而发生变化。 将ε的值与i,j,k并列列举如下。

输出伽马函数的数值表。 请想象一个复平面。 伽马函数的输入值s取自复平面上的线段。 设起点P的复数实部为非零的正数。 终点Q的复数实部也设为非零的正数。 将线段均分为n等份，以起点为第0个输入，终点为第n个输入， 计算伽马函数的数值。 输出形式为表格形式。

1. 定义与作用 sinc（辛克）函数是由 \(\frac{\sin (x)}{x}\) 定义的函数。在通信理论和信号处理（采样定理）中，它是平滑插值波形所不可或缺的数学表达式。 2. 程序要点 避免除以零：当 \(x=0\) 时，数学上会变成 \(\frac{0}{0}\)，导致无法计算（报错）。采用极限值：由于数学上 \(\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sin (x)}{x}=1\)，因此在代码中使用 if 语句，当 \(x=0\) 时强制返回 \(1\)。 3. 行为 当 \(x=0\) 时取最大值 \(1\)。随着 \(x\) 逐渐远离 \(0\)，曲线会呈现波动状并收敛至 \(0\)。

输出行列式展开时的符号和下标。 这是四次的情况。 列举符号以及元素的下标 n 和 σ(n)。 n=1,2,3,4。

输出行列式展开时的符号和下标。 这是三阶的情况。 整理后的形式被称为“萨拉斯公式”。 列出符号以及元素的下标n和σ(n)。 n=1,2,3。

计算八元数的乘积。 这是两个八元数a、b的乘积计算。

计算四元数对三次式的值。 Ln是x^n左侧的系数。 Rn是x^n右侧的系数。 M是常数项。 计算乘积时，从左到右依次相乘。 对于每个n次项，先将x从右向左乘入Ln n次，再从右向左乘入Rn。 最后将所有项（包括常数项）求和。 将结果作为多项式的值输出。

计算四元数二次表达式的值。 设表达式形式为 y=(aL*x*x*aR)+(bL*x*bR)+c（*表示乘法）。 y、x、aL、aR、b均为四元数。 乘法从左向右进行。

计算四元数的一元式的值。 设表达式形式为 y=aL*x*aR+b（*表示乘法符号）。 y、x、aL、aR、b均为四元数。 乘法从左向右进行。

平均分→标准分

对分数进行化简。同时显示最大公约数。（可处理带分母的分数）

三年级第一学期目标评分

在n位自然数中，3的倍数或含有数字3的数字出现的次数

将循环小数表示为分数形式。

将这三个分数化为同分母。

根据比例尺计算地图上的长度或实际长度。（附带单位换算）

用于论坛中的“！！”。

2014年全国大学入学统一考试（中心考试）数学II・数学B第6题是一道关于阶乘（N!）的质因数分解题。 我已将BASIC程序移植到了自创的代码中。

将这两个带分数化为同分母。

f(x)=(ax+bP)/(bx+a)･･･基本式 　其中，a,b,P为正整数。a/b > √P 基本式的性质 1. √P=f(√P)･･･具有不动点√P。 2. f(∞)・f(0)＝P ･･･当x为正整数时， 　　有理数f(x)在f(∞) > f(x) > f(0)的范围内，给出不动点的近似有理数。 3. 设 F1(x)=f(x)，Fn(x)=Fn-1(f(x))，则 Fn(x)=(Ax+BP)/(Bx+A)。Fn(x)也具有与 f(x) 相同的性质。 4. Fn(∞)－Fn(0) ＜ Fn-1(∞)－Fn-1(0) 　　……随着x→f(x)的替换次数增加，对不动点的近似范围会变窄。 5. 当b=1时，基本式可变形为f(x)=a－(a²－P)/(a+x)，Fn(x)给出近似连分数。 利用上述性质，从简单的基本式出发，通过反复置换，推导出更复杂的表达式。 以 a=(√P 的整数部分) + 1, b=1 为起点，计算 Fn(x)=(Ax+BP)/(Bx+A)。

将这两个分数化为同分母。

这是位于京都伏见御香宫的算额题。有甲、乙、丙三个正方形，它们的面积之和等于某个数值， 甲的一边长度的立方、乙的一边长度的五次方和丙的一边长度的七次方之和等于某个数值，此外，甲的一边长度减去乙的一边长度的差值与 乙的一边减去丙的一边所得的值相等。那么甲、乙、丙的一边长度分别是多少？注：甲＞乙＞丙。

计算函数f(x)的一阶导数和二阶导数，并绘制其图像。

当需要查询cos、sin、tan时。

设自然数M、N满足M>N，且两者的最大公约数为1。此时，对于分数M/N，考虑以下(i)至(iii)的步骤： (i) 设M除以N的商为Q，余数为R。 (ii) 若R>0，则将N代入M，再将R代入N，然后回到步骤(i)。 (iii) 若 R=0，则结束。 利用该商序列，可按如下方式表示。

计算y=ax²的变换率及y的取值范围。请输入x的取值范围（即定义域），并输入比例常数。 将显示变换率，同时也会显示“x、y的增量”。

我们来计算二次函数。 在xy平面上考虑二次函数。设x轴为横轴，y轴为纵轴。 设函数表达式为 y=f(x) f(x)=ax²+bx+c 。

计算二次方程的“根与系数的关系”。 设方程形式为 ax²+bx+c=0 (a≠0)。设两个根分别为α和β。 表示根的和与积。这些是基本对称式。

我们将进行与卡尔达诺公式相关的计算。 这是三次方程的解的公式。 我们将输出中间的奇尔恩豪斯变量和变量变换等内容。

正如字面意思，可以进行加、减、乘、除运算

计算三次方程的“根与系数的关系”。 设方程的形式为 ax³+bx²+cx+d=0 (a≠0)。 设三个根分别为α、β、γ。

计算二次方程的“根与系数的关系”。 设方程形式为 ax² + bx + c = 0。设两个根分别为 α 和 β。 表示根的和与积。 这些是基本对称式。

进行除法运算。 设 a≧b，a≧0，b>0。 设表达式形式为 a=(b*Q)+R。 Q 为自然数。 当求商 Q 至个位时，余数记为 R。

计算三次方程的“根与系数的关系”。 设方程的形式为 ax³+bx²+cx+d=0 (a≠0)。设三个根分别为 α、β、γ。

如果以不同的速度往返于同一距离，其平均时速， 为什么不会等于两段速度之和除以2呢？

利用两个复数a和b，研究复数四则运算对偏角的影响。 偏角的单位采用度。 将四则运算后的复数记为c。 此处的偏角变化，是指a的偏角经四则运算变为c的偏角时，其增减量。 （增减量=c的偏角 - a的偏角）

计算复数z的偏角θ的大小（以度为单位）。 输出结果的范围为0≤θ<360。

这是用万进制读大数的办法。一、十、百、千、万、亿、兆、京、垓……无量大数？

已知一次函数的方程，求其y截距和x截距。

我们将研究复数相乘时偏角的变化。 设表达式形式为 c = a * (b^n)。 此处的偏角变化量指 c 的偏角减去 a 的偏角。 偏角的单位采用度。 偏角 θ 的取值范围为 0 ≤ θ < 360。

将对两组比例的差异进行检验。可用于A/B测试等分析。

根据选举出口民调的得票率，推算母分布的置信区间，以判断当选是否已成定局。 输入样本量（出口民调人数）、符合条件的人数（投票给某位候选人的人数）、置信区间的百分比（如95%）以及推算方法（从Wald和Agresti-Coull中选择），即可计算出置信区间。 ※2020年6月24日 已修正与R软件计算结果不一致的问题。

执行两组间差异的t检验（不假设均方差相等）。分别输入两个样本的样本量、均值和标准无偏方差，并输入显著性水平以及是否假设均方差相等（若不假设，则采用Welch检验）。

在对两个均值的差进行检验时，若给定效应量（Δ=(μ1-μ2)/σ，即均值差是标准差的多少倍？）和显著性水平，则计算所需的样本量n（n=n1=n2，分别表示各样本的样本量）。　原假设：μ1＝μ2；作为备择假设，可选择μ1≠μ2、μ1＞μ2、μ1＜μ2这三种情况。

将对相关系数进行检验。数据最多可输入21个。对于不需要的数据，请输入0（而非留空）。 零假设为r=r0，当r0=0时采用t检验，否则采用基于正态分布的Fisher Z检验。

求在多次随机尝试中的概率。

计算当信息源产生两种事件时，香农熵（平均信息量）的值。 当您想了解二值熵函数的返回值时，请务必使用此函数！！ 简而言之，这是一个用于计算 x*log₂(1/x) + (1-x)*log₂(1/(1-x)) 值的函数。

可以计算出掷骰子x次后连续出现相同点数的概率。

在有限总体的不放回抽样中，求满足指定条件的“样本量”。

随机特典中可获得的种类数量与购买数量之间的关系

我们将进行皮尔逊卡方检验（独立性检验）。属性共有2种，每种最多可输入8个条件和3个条件。 请在不需要的数据中填入0。

进行一个均值的检验。（原假设：μ=μ0）　

求在多次随机尝试中的概率。

本工具用于计算一般的“两组平均值差的t检验（两样本t检验）”。 同时显示假设方差相等的情况与不假设方差相等的情况（Welch t检验）的结果。 此外，输入变量使用标准差。 --- 公式参考了“统计WEB”（参见相关链接）。 虽然其他作者编写的类似公式（参见相关链接）采用输入无偏方差的形式， 但论文等文献中通常记载的是（样本）标准差， 因此本工具旨在便于用户快速复现论文中常见的独立样本t检验结果。 （2022年7月27日制作，7月29日更新）

我们将生日重合的概率绘制成图表。众所周知，在N人中出现2人生日重合的情况概率较高，但 随着人数增加到3人、4人……，概率会急剧下降。 计算公式采用的是R语言中pbirthday、qbirthday函数所使用的近似公式： Diaconis, P. and Mosteller F. 《研究巧合的方法》。《美国统计协会杂志》 。

猜拳的综合计算

在对单个均值进行假设检验时，若已知效应量（Δ=(μ-μ0)/σ，即均值差是标准差的几倍？）和显著性水平，则计算所需的样本量。原假设为μ＝μ0，而备择假设可选μ≠μ0、μ＞μ0、μ＜μ0三种情况。

计算检验力曲线（当两个均值之差为μ1-μ2时的1-β）。可选择三种情况：零假设为μ1与μ2相等；备择假设为μ1与μ2不同，包括μ1大于μ2或小于μ2的情况。输入样本量n1、n2、显著性水平α以及效应量Δ（即（μ1-μ2）/σ，也就是均值差是标准差的几倍？）的最大值、最小值和分组数，即可生成检验力曲线图。

这是计算连续掷b个a面骰子c次时，出现相同点数的概率。

n次掉落所需的尝试次数。 x代表在n次尝试内获得掉落的人数比例，或者多次尝试后出现n次掉落的概率。 x的母数越大，其可信度就越高。请参考那些记录掉落情况的人等。

计算N人中至少有k人生日相同的概率。众所周知，N人中有2人生日相同的概率较高，但当人数增加到3人、4人……时，该概率会急剧下降。 计算公式采用的是R语言中pbirthday和qbirthday函数所使用的近似公式： Diaconis, P. and Mosteller F. 《研究巧合的方法》。《美国统计协会杂志》 。

中得头奖彩票的概率是千万分之一或五百万分之一。 我尝试根据后五位数字来计算中得头奖彩票的概率。

我尝试计算了一张贺年明信片末六位中奖的概率。 由于明信片上的号码以十六进制表示，因此选项当然也采用十六进制表示。

这是一个专为统计初学者设计的程序，用于计算“配对双样本t检验”的t值和显著性水平。

将进行皮尔逊的χ²检验（拟合度检验）。最多可输入8个观测条件。概率值可使用分数形式输入。请在不需要的数据栏中输入0。

计算检验力曲线（单均值情况下的1-β）。可选择三种情况：零假设为μ与μ0相等；备择假设为μ不同于μ0，包括μ大于μ0和μ小于μ0两种情况。输入样本量、显著性水平α、效应量Δ（即（μ-μ0）/σ，也就是均值差是标准差的几倍？）的最大值、最小值及分组数，即可生成检验力曲线图。

计算单变量回归分析（y=ax+b）中回归系数a、b（斜率和截距）的t检验及置信区间。数据最多可输入21个。 请在不需要的数据处输入0（而非留空）。计算时将零假设设定为输入的斜率和截距。

这是一个专为统计学初学者设计的程序，用于计算“独立两样本t检验”的t值、自由度及显著性水平。

我设计了一个公式，用来计算你的饭渣弄脏被炉被子的概率： 梯形面积 × 概率 通过这个公式可以算出概率

计算两个正态分布X1、X2的比（商）X1/X2的分布。 当X1和X2的均值为0时，其服从柯西分布；否则，情况会变得相当复杂。 （注）由于本文中的公式似乎存在笔误，现已根据另一篇论文（参见链接末尾）中的公式进行了修正（2023年6月2日）

这是一个专为统计学初学者设计的程序，用于计算“单样本t检验”的t值和显著性水平。

在有限总体的不放回抽样中，求满足指定条件的“误差限”。

我们将对蒙蒂·霍尔问题进行实际模拟。

进行n％的尝试m次后中奖的概率

该计算网站利用随机数函数，可生成任意范围、任意数量的整数随机数。

计算一门百发百中的火炮与一百门百发一中的火炮之间的炮击战。 将一门百发百中的火炮设为A队，一百门百发一中的火炮设为B队。 初始状态下，A队拥有一门火炮，B队拥有一百门火炮， 假设每回合双方同时开火。 无论A队还是B队，只要有一发命中，炮台数量就会减少一门。 （不考虑半毁、修理等情况。也不考虑增援等因素） 因此，B队每回合（开火后）必定减少一门炮台。 在下个回合，B队将用剩余的炮台数量进行命中率1%的炮击。 A队在开火后若判定中弹，炮台数量将归零。

我们将计算“正当性概率”，该概念也被称为孔多塞陪审团定理，并在市川忧人的小说《神与涟漪的密室》中有所提及。若p>0.5，则群体答对的概率将高于个人答对的概率（更接近“神”的答案）；若p<0.5，则群体答对的概率将低于个人答对的概率。当然，每个人的回答必须完全独立。

在有限总体的不放回抽样中，求满足指定条件的“总体比例”。

求3人中有2人加入同一社团的概率。

进行一次掷10面骰子的实验。 使用随机数。 骰子的点数设为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中的任意一个。

“试了好几次抽卡，但完全没中……里面到底有多少呢？” 当你产生这种想法时，请使用它

求3人加入同一个社团的概率

3人分别进入3个不同组的概率

计算考试分数的期望值。根据分值设置（即各题的分数）和总题数，计算出每道题的分值，并计算出期望值以及最大值和最小值。

在有限总体的不放回抽样中，求满足指定条件的“置信率”。

计算在重复执行某项操作一定次数后，其总体概率

在有限总体的不放回抽样中，求满足指定条件的“总体规模”。

掷一个面数在2到100之间的骰子。 设骰子的面数为n。 在此，我们将通过等差数列为骰子的每一面分配数字。 以第一面为首项，设定至第n面的通项。 进行10次掷骰操作，并输出掷出的点数。 默认使用六面骰。

掷一枚六面不规则的骰子。 这意味着允许各点数的概率变量不均匀的设定。 在此，我们为骰子的每一面赋予“易出度”， 并将各“易出度”除以它们的总和，从而将概率变量的总和标准化为1。 如果将相同的“出现概率”数值分配给骰子的所有面，则构成普通的无偏设置； 而如果分配得不均匀，则构成偏骰子的设置。

将白球和红球放入袋中，每次取出一个并记录其颜色，然后将其放回袋中。该过程使用随机数。 放入袋中的球数每次至少一个，且总数不超过十个。

请重新评分。

我们将进行一次掷4颗骰子的实验。 使用随机数。 由于可以更改每颗骰子的最小和最大点数，因此骰子的面数也会 随之改变。

我们将进行六面骰子的实验。 在此，您可以自由地为骰子的每一面分配数值。 我们将使用随机数来模拟掷骰子的过程。 实验次数设定为1次至12次。

掷一个n面骰子12次。 使用随机数。掷出的点数为整数。 请设定骰子的最小点数和最大点数， 输入后点击“计算”按钮进行尝试。 将输出12次的结果。

我们将进行一次掷3个骰子的实验。 使用随机数。 由于每个骰子的最小和最大点数可以调整，因此骰子的面数也会 随之改变。

这是一个专为统计学初学者设计的程序，用于计算受试者间“单因素方差分析”的F值和显著性概率。

生成复数随机数。 在此，实部和虚部均设为整数。 生成10个并输出。

我们将进行一次掷两颗骰子的实验。 使用随机数。 由于可以更改每颗骰子的最小和最大点数，因此骰子的面数也会 随之改变。

95%置信区间

计算情况的数量。 考虑抛掷3个可区分的骰子的试验。 关于点数的和与积， 我们将研究“落在整数n0到n1范围内”的情况数量， 以及“能被某个自然数d整除”的情况数量。 其余内容仅供参考。

计算可能情况的数量。 在此，我们将研究当投掷两个可区分的骰子时， 点数之和与点数之积落在什么范围内，并计算可能情况的数量。 该范围由两个整数确定。 设下限为n0。 设上限为n1。设n1为不小于n0的整数。

计算可能的情况数。 这里考虑抛掷两个可区分的骰子的实验。 对于点数的和与点数的积， 计算能被某个自然数n整除的情况数。

这是一个专为统计学初学者设计的程序，用于计算受试者内“单因素方差分析”的F值和显著性概率。

这是一个专为统计学初学者设计的程序，用于计算受试者间“双因素方差分析”的F值和显著性概率。

这里将探讨(A+B+C)^n的展开式。这是一个三项式。 根据三项式定理计算系数并列举出来。 求展开式中(A^a)(B^b)(C^c)项的系数。 小写字母abc是大写字母ABC的指数。

我们将进行多项式定理的计算。 这里将探讨(A+B+C)^n的展开式。这是一个三项式。 我们将求解展开式中(A^a)(B^b)(C^c)项的系数。 小写字母abc是字母ABC的指数。

将13张扑克牌洗牌。 假设现在有13张扑克牌。不考虑花色。 牌堆从上到下按1、2、…、13的顺序排列。拿起这堆牌， 从顶部切下p张，并将它们移到剩余的13-p张牌的下方。 将洗牌的次数记为q。 显示此操作。 [切牌次数]=0 表示牌堆的初始状态。 (1)、(2)、…、(13) 表示牌的位置，即从上往下依次为第1张、第2张、…、第13张。

生成复数随机数。 此处不限制实部和虚部为整数。 生成10个复数随机数并输出。 （请注意输出的数值末尾是否带有虚数单位i）

进行一次掷两颗可区分骰子的实验。 在此，当从较大点数中减去较小点数时，若结果为整数n， 我们将研究这种情况的数量。

95%置信区间（附加组件）

计算条件概率。 有两个箱子A和B，每个箱子中都混杂着一定数量的中奖签和未中奖签。 随机进行选择箱子并抽取一张签的试验。

我们将探讨二项式定理。 计算并列举根据二项式定理展开的表达式中各项的系数。 求解展开后(A^a)(B^b)项的系数。 其中a、b是A、B的指数。

输出nCr的列表。

输出nCr、nPr、r!的列表。

输入弧长（圆弧长度）L、弦长d、弦高（圆弧高度）h或半径r中的任意两个数值，并将剩余两个数值设为0（请勿留空），即可计算出剩余的两个数值及中心角。本程序采用L=r*θ、d=2*r*sin(θ/2)、h=r*(1-cos(θ/2))的公式，并通过牛顿-拉夫森法进行计算。 ※现已支持中心角大于180°的情况，以及存在两个解的情况。 ※2026年1月 我们已制作了设计和易用性均大幅改进的新版本。请也使用此版本。 https://sci.tea-nifty.com/blog/files/circlecalc.html

计算公式为： 距离 = √((x1-x2)² + (y1-y2)²)

这是一个计算椭圆周长的程序。 其思路是：将半径等间隔地划分为1000个点，确定椭圆与这些分界点水平线相切的点， 然后计算连接这些点的线段长度之和……就是这样。 简而言之，就是通过多边形来获得椭圆周长的近似值。 详情请参阅以下链接。

在将纸张等薄材料塑造成漏斗形状时，用于计算所需尺寸。

求圆周长。

求过点(a,b)、(c,d)和(e,f)的方程x²+y²+lx+my+n=0中的l、m、n，以及圆的圆心坐标和半径。

计算正多边形的顶点。 若需整体旋转，请在“角度偏移”中输入适当的角度（单位为°）。

根据圆弧半径和张角求圆弧的高度、圆弧长和圆弧宽度

计算结果是修正了根目录后的结果。

根据椭圆的周长和其中一个半径（无论是长轴半径还是短轴半径均可），计算出另一个半径。 ※椭圆的周长可通过长轴半径a、偏心率k=sqrt(1-b^2/a^2)以及第二类完全椭圆积分E(k)表示为： L = 4a E(k) 。我们采用牛顿-拉夫森法来求解该逆问题。

输入椭圆的长轴半径、短轴半径和中心角，即可计算出椭圆的弧长L、弦长d和高h。

根据长、宽和圆角半径，计算圆角矩形的面积和周长。

用于论坛中“直线与点的距离公式……”一帖。

求方程 y=ax+b 与 y=cx+d 的交点

输入三角形ABC的顶点坐标后，即可计算出该三角形的五心（重心、内心、外心、垂心、旁心）的坐标。

如果已知一对对角线的长度之和，就可以使用布雷特施奈德公式（Bretschneider's formula），但这里仅使用了“长度信息”。

椭圆的XY坐标与半径

超椭圆（拉梅曲线）|x/a|^n + |y/b|^n = 1（当n=2时即为普通椭圆） 计算其周长和面积。

y=(sqrt(cos(x))*cos(400*x)+sqrt(abs(x))-0.4)*(4-x*x)^0.1 是一个绘制心形图形的函数（在谷歌图形显示中很常见）。 我们将此函数扩展，绘制y=(sqrt(cos(a*x))*cos(b*x)+sqrt(abs(x))-c)*(d-x*x)^e的图形。

根据圆弧长度和半径求圆弧张角、圆弧高和圆弧宽。

可以算出正多边形内角与内角之和。

这是一个可立即求出“兰格利问题”和“整角四边形”答案角度的工具。关于“兰格利问题”和“整角四边形”，请在谷歌中搜索“biglobe 兰格利问题”，并参考“兰格利问题、整角四边形 ”的相关内容。（由于在2026年更换了服务商）此外，首页名为“数学与高斯”。

根据中心角和弧长计算面积。

根据3个点确定抛物线。 假设抛物线的轴是垂直的（与y轴平行）。 抛物线的方程形式为y=ax²+bx+c。 在此允许a=0的结果。 也会输出直线结果。

此帖专用于“外接圆与圆角矩形”讨论区。

用于论坛中“关于两条直线的距离”一帖。

针对四面体OABC，根据已知的6条边长求其体积。

这类似于“将胡萝卜切在什么位置才能使其体积减半？”这类问题，是求解将圆锥台一分为二的高度所需的计算公式。 如果将胡萝卜视为圆锥（R1＝0），那么只需在从较粗一端开始按1:4的比例划分的位置进行切割即可。

当沿垂直方向（平行于中心轴）截取半径为R、底角为δ的直圆锥时，求截面右侧被切去部分（阴影部分）的体积V。

利用两条边和一个顶点来计算三角形的面积。

计算圆与直线的交点。 求交点的个数和坐标。 交点的个数是在实数平面xy上确定的。 这取决于判别式。 交点的坐标是联立方程组的解。 结果将在复数范围内输出。 请务必注意，输出栏末尾是否带有虚数单位i。 圆的方程形式设为： (x-a)^2 +(y-b)^2 =r^2 直线的方程形式设为： lx+my+n=0

计算抛物线的坐标

用于“切线与曲线”讨论区。

利用两个角和外接圆的半径来计算三角形的面积。

求圆的面积

计算抛物线与直线的交点。 考虑在xy平面内。（y轴为纵轴，x轴为横轴） 假设抛物线的轴是垂直的。 抛物线的方程形式为 y=ax²+bx+c。 直线的方程形式为 y=mx+n。 交点的个数可通过消去y项后的二次式判别式来确定。

关于初等几何题目“整角三角形”，请在谷歌搜索“biglobe 兰利的问题”，并参考首页上的“数学与高斯”。（因为我在2026年更换了网络服务提供商）

当以半径R、底角δ的直圆锥，被一与底面边缘相切且与底面成角度γ的平面截断时，计算截面右侧被切除部分（阴影部分）的体积V，以及被切除后剩余（截面左侧，未阴影部分）的体积Vu。

计算半径为R、底角为δ的直圆锥被与底面成角度γ的平面斜切时，切面右侧被切去的部分（阴影部分）的体积V。

计算椭圆的切线。 设切线的斜率为m，求其方程。 计算两条切线方程中的常数项。 假设椭圆方程的形式为标准形式。

这是一个计算平行四边形面积的程序

计算当以与底面成角度γ的平面截取半径为R、底角为δ的直圆锥时，截面右侧被切除部分（阴影部分）的体积V。由于此处仅考虑截角γ与底角δ完全相等的情况，因此输入的γ值原则上应与δ值相同。

计算半径为R、底角为δ的直圆锥被与底面成角度γ的平面斜切时，切面右侧被切去的部分（阴影部分）的体积V。

这是一个计算平行四边形面积的程序

确定抛物线。 已知轴的位置为p，且指定了两个不同的点， 则确定一条经过这两个点且轴的位置为x=p的抛物线。 设抛物线的方程形式为 y=ax²+bx+c。 通过配方法变形后的方程形式为 y=a(x-p)² +q。

这是一个计算正方形面积的程序

设点A的坐标为(x1,y1)。 设点B的坐标为(x2,y2)。 计算将线段AB按m:n内分的点的x、y坐标。 计算将线段AB按m:n外分的点的x、y坐标。

这是两个胞在扩展了2面角后的角度。

求长方形的面积。

“兰利B型问题”。关于这一点，请在谷歌中搜索“biglobe 兰利问题”，并参考首页上的“数学与高斯”。（因为我在2026年更换了网络服务提供商）

求出从给定一点到抛物线的切线方程。 设抛物线的方程形式为 y=ax²+bx+c。 设切点①的x坐标为p1，y坐标为q1。 设切线①的方程形式为 y=m1x+n1。 设切点②的x坐标为p2，y坐标为q2。 设切线②的方程形式为 y=m2x+n2。

计算椭圆的切线方程。 椭圆方程采用标准形式。

计算椭圆与直线的交点。 椭圆为标准形式。 设椭圆方程的形式为 ((x^2)/(a^2))+((y^2)/(b^2))=1。 设直线方程的形式为 lx+my+n=0。

计算两条抛物线的交点个数。 设想xy平面（y轴为纵轴，x轴为横轴的实平面）。 设抛物线①的方程形式为y=ax²+bx+c。 设抛物线②的方程形式为 y = lx² + mx + n。 两条抛物线均垂直于坐标轴。 系数和常数项均为实数。 若存在交点，则计算其 x 坐标和 y 坐标。 当交点为 1 个时，将其输出至输出栏的 x1、y1 处。 当交点为 2 个时，也将其输出至输出栏的 x2、y2 处。 本次不判定交点是交点还是切点。 此外，关于两条抛物线是否相同（是否完全重合）， 或轴的位置相同而顶点高度不同（上下平行）的判定， 其显示结果将予以省略。

求两条直线在赫塞标准形式下的交点的x、y坐标。 设直线1的偏角为θ。 设直线2的偏角为φ。 设直线1的单位法向量起点到原点的距离为h1。 设直线2的单位法向量起点到原点的距离为h2。 单位法线向量的方向为正，反方向为负。

计算沿抛物线绘制的折线的长度。 考虑x坐标上的某个区间，并将该区间划分为n等份。 针对该区间的起点、终点及中间各点的x坐标， 计算抛物线的y坐标，并将点(x,y)用折线连接起来， 计算所得折线的长度。

抛物线由顶点的位置和曲线经过的另一点确定。 设抛物线的方程形式为 y = ax² + bx + c。

计算沿三次曲线绘制的折线的长度。 设函数形式为 y=f(x)， 其中 f(x)= ax³+bx²+cx+d。 将起点x坐标到终点x坐标的区间沿x轴进行分割，计算各区间内 f(x)的值，并设想用折线将其连接起来。 求此时折线的长度。

已知关系式 x²+y²=a， 求方程 x+y²=k 中 k 的最大值和最小值。 设 a 为不为零的正数。　

根据球的体积计算半径。

当椭圆用极坐标方程表示时，进行相应的计算。

我们将计算轴倾斜的抛物线。