大家的自學指南（數學）

進行冪運算。

根據基準量與比較量，計算出比例。

圓周率的計算（圓周與面積）

柯拉茨猜想指出，對於任意的正整數 n，當： • n 為偶數時，取 n/2； • n 為奇數時，取 3n+1； 並重複此過程時，必定能在有限次迭代後達到 1。

計算冪餘

利用勾股定理，求出正方形的對角線長度。

根據（圓的）圓周長，求出（圓的）直徑。

取任一正整數 n， 若 n 為偶數，則將 n 除以 2； 若 n 為奇數，則將 n 乘以 3 並加上 1； 重複此操作，最終會得到 1——這便是科拉茨猜想的圖解。若 n=27，則重複 111 次後會得到 1。 據說若能證明此猜想，將獲得 1 億日圓。

四則運算（基礎）

可以產生長達 50 位數的大型質數。 不過速度很慢。一旦達到 50 位數，就得等上一陣子。

請在腦海中想一個你喜歡的數字（建議是3位數或4位數）。將該數字的各位數重新排列， 分別組成最大的數和最小的數，然後計算兩者的差值。 重複這個過程，有時會得到一個固定的數值。 （你選擇的數字最多可達10位數。如果是5位數會如何呢？）

從 11 位數字中計算校驗位。

將十進制數轉換為 n 進制數（n≧34 的任意整數）。

當 T 位於 T2 與 T1 之間時的 S 值

計算二次函數 y = ax² + bx + c（其中 a ≠ 0）的圖形之頂點的 x、y 座標。

因為有機會在遊戲中將數字不斷倍增，所以我製作了這個

計算指定數量的倒數。

計算正則連分式（至第 n 項）

評估輸入的 4 位數字的複雜度。

我們將進行與二次函數相關的計算。 我們將進行將 y=ax² + bx + c 變形為 y=a(x-p)² + q 的計算。

根據（圓的）直徑，求出（圓的）圓周長。

使用歐幾里得除法求出 a 與 b 的最小公倍數，並顯示計算過程。

當整數 a 與 p 互質，且同餘式 x²≡a (mod p) 有解時，a 被稱為模 p 的平方餘數。請進行此計算。同時也計算平方餘數符號 (a/p)。

「關於經過四個整數點的三次函數式」用

若兩個自然數的「除自身以外的約數之和」相等，則稱為「友愛數」（在《博士鍾愛的數式》中也曾出現過）。 請輸入兩個數，來看看它們的約數之和是否相等。

使用埃拉托斯特尼篩法，可以列出100萬以內的素數。

計算二階方陣的n次冪。 雖然根據規格可輸入複數，但無法得到正確的結果

本工具可生成代數式因式分解題目。雖然僅能生成單變數的簡單代數式，但也能製作三次式與四次式的題目。

將輸入的自然數進行質因數分解。此為採用試除法與 rho 演算法進行的質因數分解。

以下將展示科拉茨猜想的推導過程。

計算三重階乘。

讓我們在卡西歐計算機網站上計算這個著名的公式 6/2(1+2) 最後更新日期：2022年2月22日

產生函數的增減表。 雖然只能產生簡單的函數增減表，但應該足以涵蓋數學II的範圍。 請在方框中輸入係數。若無該項，請輸入0。 在智慧型手機上，版面可能出現錯位。 √標記的處理較為困難。

海邊有 n 位美女排成一列。雖然這些美女都有排名，但你並不知道具體排名，只能逐一與她們見面。 究竟該邀請第幾位才好？雖然顯示的是第 n-1 位，但最後一位的排名顯而易見吧。

將計算加權平均值。 此處假設資料集共有 10 組。 此處的加權平均計算採用加權算術平均。 權重僅限於 0 以上的正數。 （若輸入值超出限制，則不會產生輸出）。 若資料集少於 10 組， 請在 x、w 的輸入欄位中輸入數值 0（請勿留空）。

(x²+9x·y-y²)^3 + (12x²-4x·y+2y²)^3 = (9x²-7x·y-y²)^3 + (10x²+2y²)^3 這個由拉馬努詹發現的等式，若取x=1, y=0，便能重現拉馬努詹住院期間聽到計程車 車牌號碼1729時，當場回答出1729=1³+12³ = 9³+10³的情景。

求兩個數 a、b 的算術平均數、幾何平均數、調和平均數、對數平均數、平方和平均數及立方和平均數。

請寫下您喜歡的6個數字。接著，將相鄰兩個數字相加後所得數值的個位數，寫在下一行。 重複這個步驟，並在寫完這6個數字的瞬間，準確說出最後得出的數字，這就是這項算術魔術。 （摘自三谷純先生的推文）

過去，英國麥當勞的麥樂雞塊套餐包含6塊、9塊或20塊。若購買多個套餐，無法作為麥樂雞塊總數的最大值，即為「非麥樂雞塊數」。將此概念套用至不同面額的硬幣上，便是弗羅貝尼烏斯硬幣交換問題。我們將進行相當於3枚硬幣的計算。

計算二次函數的最大值與最小值。定義域設為閉區間。計算在對應的值域範圍內的最大值與最小值。

計算四棱錐台的斜邊

利用勾股定理來求三角形的斜邊長。

零除法的處理方式

若在 x 處輸入較大的數字， 即可計算出圓周率的近似值。

我們將研究自然數的約數個數及其約數之和。 在此，我們將採取最直接的方法，透過逐一除法進行統計。 （這同時也作為對其他演算法的驗算。）

計算斐波那契數列、佩爾數列、帕多瓦數列及佩蘭數列，並計算其相鄰項的比值。 當 n 趨近於無窮大時，該比值將分別為黃金比、白銀比，而其餘兩者則會變成塑膠數。

計算自然數 n 的因數。 列舉所有大於等於 1 且小於等於 n、且能整除 n 的自然數。 輸出這些因數。

判斷是否為質數。

計算約數函數 σx(n)，其值為自然數 n 的約數 d 的 x 次冪之和。 當 σ1(n) = 2n 時，n 即為完全數。

根據三個點來確定圓。 計算半徑與圓心的座標。 關於圓的一般方程式，其形式為 x²+y²+lx+my+n=0。

雖然我覺得這可能沒什麼用，但若您能盡量使用，我會很高興。

a^b

時差計算機（無謂地精確到秒）

參考了計算從1的2次、3次方到x的2次、3次方總和的自製公式，並調整了x和n的數值，使其能夠進行計算。

質因數分解（以質因數與指數並列顯示）最後更新日期：2022年2月22日

計算斐波那契數列。

計算三角函數。

計算比例常數的變化率。

質因數分解（以質因數與指數並列顯示）（效能提升版）最後更新日期：2022年2月22日

現在要進行埃及算的計算。

可以生成簡單的函數增減表。 雖然增減表生成器也由名為 abcdefg85 的帳號公開，但製作人是同一人。 我們針對程式碼進行了簡化，並提升了可讀性。

試著在腦海中想一個你喜歡的正整數，將其各位數平方後相加，結果會等於1，或者會落入4、16、37、58、89、145、42、20的循環中。

「關於經過四個整數點的三次函數式」——支援分數表示法

a 到 n 的總和是……

這是一道僅憑總和與差值來求出兩個數的算術題。

請在將 y 的係數設為相同時，表示這個二元一次方程式。 求解 x 和 y 的值。

請輸入任意一個自然數 n。

計算式子的展開。 此處將探討x的五次式的情況。 式子的形式為： (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)(x+e)=k5(x^5)+k4(x^4)+k3(x^3)+k2(x^2)+k1(x^1)+k0 。 k5、k4、k3、k2、k1、k0 為展開後式中各項的係數。 將左邊展開為右邊。

埃拉托斯特尼篩 最後更新日期：2022年2月22日

顯示圓周率。

即使代入偶數也能成立，但答案並非整數 可應用於複數（？）（作者製作時並未預料到這一點）

這涉及程式設計方面的內容。我們將使用一位數（有效位數）兩倍長度的數值進行除法運算，以得出商和餘數。當然，這裡處理的都是整數。

計算三重階乘。

計算斐波那契數列。

進行多項式的計算。 假設各項皆為係數 a_n 乘以 x^n 的形式。 此處的最高次數為 10。 係數 a_n 右側的 n 為下標，範圍為 0 至 10，且與 x^n 的指數 n 相對應。 a₀ 為常數項。 設 y = a10*(x^10) + a9*(x^9)… + a1*x + a0， 並計算 y 的值，然後輸出。 (* 為乘法符號)

2022年共通測試的數學I・數學A第4題是關於不定方程（迪奧凡托斯方程） 題目要求求解 5^4*x-2^4*y=1、5^5*x-2^5*y=1、11^5*x-2^5*y=1 的解。 一般而言，方程式 a*x+b*y=gcd(a,b) 的解被稱為貝祖等式。此處需求解 x、y 的值。

彩惠莉莉（科學新聞解說帳號）在推特上分享了 Valeriy G. Narushin 等人的論文《雞蛋與數學：介紹一種描述雞蛋形狀的通用公式》（《紐約科學院年鑑》，2021年），因此我也試著在卡西歐的高精度計算網站上進行了相關演算。

根據位元數計算動態範圍（理論值）。

這個公式是個神奇的公式，當從 a 的平方中減去 b 的平方時，可以省去平方的運算步驟。 請先試著心算確認一下，再用這個公式試試看喔。

利用勾股定理來求正三角形的高。

計算利用組裝除法進行的多項式除法。 在此，我們考慮將最高次數為10次的x的多項式除以一級式(x-α)。 不存在的項將視為係數為0來處理。

根據兩個圓的切線以及這兩條切線之間的角度來計算半徑的公式

排列和

★橢圓相關題目　作圖

計算三次曲線的最大值與最小值。 針對定義域為閉區間的三次函數，計算其值域中的 最大值與最小值。

計算猴子敲擊打字機時，需要敲擊多少次才能打出目標字串。

求三次函數 f(x) = ax³ + bx² + cx + d 的極限時 x 的值。 d 在求導時會消失。

電壓與電流校正所使用的誤差率公式

只需複製到 Excel 儲存格中，即可算出四次方程式的根的公式

解二次方程式： 若 X 和 y 重合，則為重根

我們將探討「互質」的自然數有多少個。 針對某一個自然數，我們將探討在其連續自然數範圍內，有多少個與之互質的自然數。

將三次根式的分母化為有理式。

我們將對該式進行展開。 我們將處理 x 的六次多項式的情況。 該式的形式為 p(x+k1)(x+k2)(x+k3)(x+k4)(x+k5)(x+k6)=p{a6(x^6)+a5(x^5)+a4(x^4)+a3(x^3)+a2(x^2)+a1(x^1)+a0(x^0)} 。將左邊展開為右邊。 k、a、A 右側的下標（數字）是配合 x 次數的格式。 A 是 p 分配後的係數數值。

埃拉托斯特尼篩 最後更新日期：2022年2月22日

計算分數的四則運算。 針對兩個分數 a、b 進行加法、減法、乘法及除法運算。 此外，各運算結果亦會以小數形式顯示，供參考。 此處不處理帶分數。 輸出結果為「整數比的分數」。

我特意用 Å/s 單位來計算速度，純屬多此一舉。

據說在16世紀之前，為了將積快速轉換為和，人們會使用一種稱為「Prosthaphaeresis」的方法，即運用公式 cos(a)cos(b) = (cos(a+b) + cos(a-b))/2。後來透過對數表利用公式 log(ab) = log(a) + log(b)，計算變得更加簡便。讓我們來看看吧。

求 x 的 y 次方

我們將進行與分數相關的計算。 在此，我們將探討分數的n次方。 假設所處理的分數分子為整數。 假設所處理的分數分母為非零整數。 n次方的「n」假設為1以上的整數。 我們將計算分數的n次方。

(sin x)÷x 與 (tan x)÷x 的圖形 最後更新日期：2022年2月22日

顯示 11 個整數的最大公約數與最小公倍數　　　　　 最後更新日期：2022/2/27

比較容易成為質數； 50位數是有其極限的

分數→小數

供驗證用

進行分數的化約。

輸入題數和答對數後，即可轉換為分數。

關於論壇提問「√(2012-n的2……」的計算方法

這涉及程式設計方面的問題。 在處理整數時，數值會被四捨五入到有效位數，這確實是個問題。 其實，要精確計算出乘法的結果，需要兩倍的有效位數。

計算部分分數分解。 在此，我們將探討「分子為一元一次式、分母為兩個一元一次式之積的分數式」 分解為「分子為常數、分母為一元一次式的分數式」的兩種情況。 設式為： (Lx+M)/(x+P)(x+Q) = a/(x+P) + b/(x+Q) 將左邊按右邊進行部分分數分解。

現在來展開這個式子。

求三角函數的值。 在較早期的三角函數中，「正矢」等術語也常被用作「矢高」等。

求 x/y 的餘數。

★橢圓相關題目　（橢圓上兩點間的弧長C與角度n°）

將第一個編號設為 1。

檢查根號內的數值。 此處的根號指用於計算 n 次方根的根號。 輸入欲查的數值 x。 輸入 n 次方根的 n。 輸出可移出根號外的數值 k。 輸出殘留在根號內的數值 y。 作為驗算，將 k 乘以 n 次並放入根號內，計算其與 y 的積。 確認是否已還原出 x。

求解連立方程式 ax + by = m, cx + dy = n

求圓的面積

我們來進行埃及算法的運算。 這是一種將分數轉換為單位分數之和的運算。 所謂單位分數，是指分子等於1的分數。 分數的分子和分母皆為自然數。 在此我們考慮將分數分解為兩個單位分數的情況。 所採用的演算法為逆約分迴圈型，此類演算法是透過將相同的自然數乘以待分析分數的分子與分母，藉此提高分解的自由度。這與質因數分解相反，是透過構建合數來進行探索，但若要模擬手算過程，依序以自然數 1、2、3、… 進行逆約分確實是個好方法。 其結果可能與逐次減法演算法不同。 這是因為單位分數的分解結果未必是唯一的。 由於探索範圍通常沒有上限，若處理的數值過大， 可能會導致超時，因此我們會為迴圈次數設定上限。

求算術數列的第 N 項

建立模 N 的等比數列。

通常其中一個會是質數 根據 a 的值，答案會呈指數級增長

計算四邊形（平行四邊形、正方形、長方形、菱形）的面積。

我們來進行埃及算法的計算。 這是一種將分數轉換為單位分數之和的計算。 所謂單位分數，是指分子為 1 的分數。 分數的分子與分母皆為自然數。 在此我們考慮將分數分解為三個單位分數的情況。 所採用的演算法為逆約分迴圈型，此類演算法是透過將相同的自然數乘以待分析分數的分子與分母，藉此提高分解的自由度。這與質因數分解相反，是透過構建合數來進行探索，但若要模擬手算過程，依序以自然數 1、2、3… 進行逆約分確實是個好方法。 其結果可能與逐次減法演算法不同。 這是因為單位分數的分解結果未必是唯一的。 （此外，探索範圍通常沒有上限，若處理的數值過大， 也可能發生超時情況）

拉馬努詹的恆等式（附原始碼）　　最後更新於 2022/2/28

求直線的y截距。 假設已知直線的斜率。 當此直線經過xy平面上的某一點時， 計算其y截距。

進行與分數相關的計算。 將輸入的數值轉換為整數比形式的分數。

探索線性方程式的特解。 假設方程式形式為 ax + by = c。處理整數範圍。 依序將整數代入 x，若 y 為整數且滿足方程式，則輸出結果。 若未找到解，或輸入值超出限制範圍，則不顯示任何訊息。

阿基米德的計算方法

我們將進行因式分解定理的計算。 範圍涵蓋至十次冪。 假設所有係數皆為整數。 設式為 f(x)=a10x^10+a9x^9+･･･+a2x^2+a1x+a0。　

斐波那契數列為 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24...，但請將第一個 0 視為第 0 項。

正57邊形約為3.14。

來做鶴龜算。

我們將計算源自詹姆斯·喬伊斯《尤利西斯》的數列 a_n = (n^(n^n) 的位數)。

計算此式的展開式。此處以四次式為例。 展開前的式子形式為： k{(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)} 。 假設未分配 k 的展開後式為： k{p4(x^4)+p3(x^3)+p2(x^2)+p1(x^1)+p0}。 假設已分配 k 的展開後式為： t4(x^4)+t3(x^3)+t2(x^2)+t1(x^1)+t0。

進行交替因式分解。 範圍為整數。 假設方程式的形式為 Px²+Qx+R=(ax+b)(cx+d)。 將左邊因式分解為右邊。 若經搜尋後找到符合條件的數值，則輸出該數值。

二次方程式的解的公式中的判別式 D。關於這個 D，我們將檢查哪些數可以移出根號之外。 設 D 為自然數，且移出的數也僅限於自然數。

利用正多邊形來計算圓的面積。

進行與分數相關的計算。 在此，我們將探討如何將複數除法（除算）的結果 以分數形式輸出。 在輸出分數時，應計算使分子的實部與虛部皆為整數。 在輸出分數時，應計算使分母為自然數。 同時也將輸出分數的分子除以該分數分母所得的值作為參考一併輸出。 輸入分數的分母應為非零數值。 （輸入分數的分母，須確保其實部或虛部至少有一項不為零。）

求扇形的面積。

正多邊形的對角線數量

將計算加權平均值。 此處假設資料集包含 30 組資料。 此處的加權平均計算採用加權算術平均。 權重僅限於 0 以上的正數。 （對於超出限制的輸入，系統將不進行輸出）。 若資料集少於30組，請保留 x、w 輸入欄位的預設值 0（請勿留白）。 輸入的權重總和不需等於 1。

判定置換的奇偶性。 此處以數字序列 12345 的置換為例。 此為判定 5 個字元的置換 σ 為偶數或奇數。 若為偶數，則 sgn(σ) = 1； 若為奇數，則 sgn(σ) = -1； 並將 1 或 -1 作為判定結果輸出。 可表示為偶數個互換乘積的置換稱為偶置換， 可表示為奇數個互換乘積的置換稱為奇置換。 若是偶置換，則判定為偶，並輸出 1。 若是奇置換，則判定為奇數，並輸出 -1。 置換的奇偶判定有時會用於行列式的定義。 請在輸入欄中輸入 12345 經置換後的結果（欲檢查奇偶性的數字序列）。 在置換的表示法中，通常會寫在下段。 例如，若要判定將 12345 置換（順序調換）後所得的 12354 的奇偶性， 請依序輸入：輸入1=1、輸入2=2、輸入3=3、輸入4=5、輸入5=4。 系統將輸出奇偶性判定結果。

我們將進行與三次曲線相關的計算。

利用連分數計算奈皮爾數。

計算切線的係數。 假設函數 f(x) 為二次以上且不超過十次的項式。 當指定要查詢的 x 座標時，將輸出以曲線上的點 (x, f(x)) 為切點之切線方程式的係數。

計算多個分數的加法與減法。 此處以10個為限。 進行減法運算時，請在分子中輸入負數。 此時，請在分母中輸入不為零的正數。

可以表示任意數的冪。

計算展開式。 在此，我們將展開兩個多項式的積。 假設這兩個多項式分別為 f(x) 和 g(x)。 變數僅有 x 一個，且兩者的次數均不超過五次。

拉馬努詹公式　　最後更新日期：2025/05/01

我們來進行埃及算法的計算。 這是一種將分數轉換為單位分數之和的計算。 所謂單位分數，是指分子為 1 的分數。 分數的分子與分母皆為自然數。 這裡我們來探討將分數分解為 4 個單位分數的情況。 所採用的演算法屬於逆約分迴圈型，此類演算法是透過將相同的自然數乘以待分析分數的分子與分母，藉此提高分解的自由度。這與質因數分解相反，是透過構建合數來進行探索，但若要模擬手算過程，使用自然數 1、2、3、… 進行逆約分確實是個好方法。

判斷置換的奇偶性。 此處以數字序列 1234 的置換為例。 此為判斷 4 個字元的置換 σ 為偶置換或奇置換。 若為偶置換，則 sgn(σ) = 1； 若為奇置換，則 sgn(σ) = -1； 並將 1 或 -1 作為判斷結果輸出。 可表示為偶數個置換乘積的置換稱為偶置換， 可表示為奇數個置換乘積的置換稱為奇置換。 若是偶置換，則判定為偶，並輸出 1。 若是奇置換，則判定為奇，並輸出 -1。 置換的偶奇判定有時會用於行列式的定義。

進行展開。展開後將得到一個以 x 為變量的九次式。

計算自然數 1 至 n 中包含 a、b 的倍數的個數。 根據高斯公式。 n、a、b 皆為自然數。 c 為滿足 c = a × b 的自然數。（* 表示乘法）

將四次式除以二次式。 將四次式除以二次式。 被除的四次式的形式設為 ax^4+bx^3+cx^2+dx+e。 將除數的二次式設為 lx²+mx+n。 商式的形式設為 Q2x²+Q1x+Q0。 餘式的形式設為 R1x+R0。 Q、R右側的數字為下標，並與x的次數 相符。

根據 4 個點決定三次或更低次數的曲線。 根據 4 組不同的 xy 座標求出三次方程式的係數。 不過，此處允許 a 為 0 的結果， 因此也會輸出三次或更低次數的方程式。 方程式的形式設為 y=ax³+bx²+cx+d。 (不排除 a=0 的情況) 為便於參考，計算將在複數範圍內進行。

數量太少會導致結果分散，請多加留意

此公式用於求解方程式「z^N=a+b*i」。

我們來進行因式分解。 這裡僅處理整數範圍。公式的形式為： x² + (a+b)x + a*b = (x+a)(x+b) （* 代表乘法，+ 代表加法。x² 代表「x 的平方」。） 我們要找出和 (a+b) 和積 (a*b)。

求圓周率！

這涉及程式設計方面的內容。 當加法運算的結果超過有效位數時，會轉為指數表示法，導致最末一位數被捨去； 但若在加法運算時進行特殊處理，即可避免捨位並實現進位。

針對某個自然數Ｎ，列舉所有互質的自然數 （範圍為２至Ｎ-1）。

二項分布、近似於正態分布的95%信賴區間下限

判斷置換的奇偶性。 此處處理數字序列 123 的置換。 這是對 3 個字元的置換 σ 是否為偶數或奇數的判斷。 若為偶數，則 sgn(σ) = 1； 若為奇數，則 sgn(σ) = -1； 並將 1 或 -1 作為判斷結果輸出。

計算部分分數分解。 假設分子與分母皆為數字，而非代數式。 這並非為積分做準備而進行的部分分數展開，而是將分子與分母皆為具體數字的 分數，展開為兩個分數。 分解後的兩個分數是單位分數。 待分解原分數的分子，即為展開後兩個單位分數的分母之差。 待分解分數的分母等於展開後兩個單位分數的分母之積。 公式形式為： n/m=(1/a)-(1/b) 將左邊展開為右邊。 n=b-a m=a*b 在此範圍內計算 a、b 的整數值。 （b-a 為減法，a*b 為乘法）

無止盡的嵌套平方根計算

從正多邊形求出圓周率

並不一定就是質數。

收斂得超快。

計算部分分式分解。 在此，將分子為二次式、分母為三次式的分式， 分解為分子為常數、分母為一次式的三項和形式。 形式為： (Lx^3+Mx^2+N)/(x+P)(x+Q)(x+R)=(a/(x+P))+(b/(x+Q))+(c/(x+R)) 。 我們將進行將左邊按右邊進行部分分數分解的計算。

計算三次方程式的判別式值。 假設三次方程式的形式為 ax³+bx²+cx+d=0。 考慮所有係數皆為實數的情況。 計算此時判別式的值。 當判別式的值為 0 時，方程式具有重根； 當判別式的值為正時，具有互不相同的實數解； 當判別式的值為負時，具有一個實數解以及與其共軛的兩個虛數解。

請輸入任意一個自然數作為 n。

當存在一組連續的自然數時， 需檢查這些數是否能被兩個不同的自然數整除， 並彙整結果。

同上，上限。

進行因式分解的計算。 將表達式形式設為 (x² - m) = (x + a√b)(x - a√b)，其中 m ≠ 0。 在整數範圍內搜尋 a 和 b，並顯示結果。

進行單數轉換的計算。 自然數 n 的各位數為 0 至 9。計算這些數值的總和，若結果為 10 以上， 則將該數值視為新的 n，並將各位數相加。 重複此步驟，直到結果落在 1 至 9 之間為止。 0 的單數轉換結果為 0。

判斷置換的奇偶性。 此處以數字序列 123456 的置換為例。 此為判斷 6 個字元的置換 σ 為偶數或奇數。 若為偶數，則 sgn(σ) = 1（一）； 若為奇數，則 sgn(σ) = -1（負一）； 並將 1、-1 作為判斷結果輸出。 可表示為偶數個互換乘積的置換稱為偶置換， 可表示為奇數個互換乘積的置換稱為奇置換。 若是偶置換，則判定為偶，並輸出 1。 若是奇置換，則判定為奇數，並輸出 -1。 置換的奇偶判定有時會用於行列式的定義。 請在輸入欄中輸入欲檢查奇偶性的數字序列（即對 123456 進行置換後的數字字串）。 在置換的表示法中，此判定通常寫在下段。 例如，若要判定將 123456 置換（順序打亂）後所得的 123564 的奇偶性， 請從上往下輸入：輸入1=1、輸入2=2、輸入3=3、輸入4=5、輸入5=6、輸入6=4。 系統將輸出奇偶性判定結果。 輸入欄位 1、2、3、4、5、6 需分別輸入 1、2、3、4、5、6 中的任一數字。 輸入欄位 1、2、3、4、5、6 需輸入不重複且各不相同的數字。

試用

計算小於 x 的質數個數。

我們將計算約數的個數與總和。 針對以三個素數 P、Q、R 為質因子的合數，我們將探討其正約數的個數， 以及這些正約數的總和。 P、Q、R 均限於小於 1000 的素數。

圓周上的一段長度

為了使力點施加的力與支點的力達到平衡，我們將計算力點施加的力。請將此內容運用於槓桿實驗中。

本文將說明當 n≥6 時，第 n 個素數的數值會達到何種程度。

計算 d(N) = max{τ(x)|1<=x<=N} N<=10**36

計算部分分式分解。 在此，將分子為三次式、分母為四次式的分式， 轉換為分子為常數、分母為一次式的四項式之和。 設式為： (Kx^3+Lx^2+Mx^1+N)/(x+P)(x+Q)(x+R)(x+S)=a/(x+P)+b/(x+Q)+c/(x+R)+d/(x+S) 將左邊按右邊進行部分分式分解。

在 Excel 之類的軟體裡計算時，總會跳出 e，那真的很煩人對吧！？ 如果是這樣，這招就能輕鬆解決！！

計算自然數 n 的位數（十進制）。 將每個位數視為 1，並計算其總和。

精確計算球的體積。

我們將進行與單位分數和相關的計算。 在電磁學中，串聯合成電容與並聯合成電阻的計算公式形式分別為： 1/R=(1/r1)+(1/r2)+…(1/rn)， 1/C=(1/c1)+(1/c2)+…(1/cn) 這類方程式，其左右兩邊皆為單位分數。（所謂單位分數，即分子為1的分數） 在此，我們將處理右邊項數最多達20項的情況。並求出左邊的分母。

我們將對分數函數進行變形。 假設原始分數函數的形式為 y=(ax+b)/(cx+d)。 變形後的形式設為 y={k/(x-p)}+q。

其中一組方程式為包含二次項的二元連立方程式 ax²+by²+cx+dy=m, fx+gy=n，請求其中一組的 y 值。

我們將利用伽瑪函數來計算圓周率。雖然隨著 n 值增大，結果會越來越接近圓周率，但由於收斂速度緩慢，且當數值過大時會產生誤差，因此並不具實用性。

利用梯形公式計算半徑為1的圓內面積。

進行式子的展開。請計算展開後呈三次式形式的結果。 假設展開前式子的形式為 k(x+a)(x+b)(x+c)。 假設展開後 x 的三次式形式為 A(x³) + B(x²) + C(x¹) + D。 請輸入 k、a、b、c。計算並輸出展開後的 A、B、C、D。

我們將進行與平方根計算規則相關的演算。 在此，我們將檢查根號內的數值，並查明是否存在可移出根號外的數值。 將根號內的數值設為 n。此處考慮 n 為非負實數。 檢查前的式子形式設為 √n。 檢查後的式子形式設為 k√m。 檢查的處理內容是將 n 視為 m*(k^2)，並將 k 移出根號外。 作為驗算，再次計算 m*(k^2)，並與 n 並列顯示。 最後將 √n 的值與 √m*(k^2) 的值並列顯示。

判斷置換的奇偶性。 此處處理數字序列 123456789 的置換。 這是對 9 個字元的置換 σ 是否為偶置換或奇置換的判斷。 若為偶置換，則 sgn(σ) = 1（一）； 若為奇置換，則 sgn(σ) = -1（負一）； 並將 1 或 -1 作為判斷結果輸出。 可表示為偶數個互換乘積的置換稱為偶置換， 可表示為奇數個互換乘積的置換稱為奇置換。 若是偶置換，則判定為偶，並輸出 1。 若是奇置換，則判定為奇數，並輸出 -1。 置換的奇偶判定有時會用於行列式的定義。 請在輸入欄中輸入欲檢查奇偶性的數字序列（即對 123456789 進行置換後所得的數字字串）。 在置換的表示法中，此判定通常寫在下段。 例如，若要判定將 123456789 置換（順序打亂）後所得的 876512349 的奇偶性， 請依序輸入：輸入 1=8、輸入 2=7、輸入 3=6、輸入 4=5、輸入 5=1、輸入 6=2、輸入 7=3、輸入 8=4、輸入 9=9。

我們來展開這個式子。 這裡將進行交叉乘法的因式分解的逆運算。 假設式子的形式為： (ax+b)(cx+d)=L(x^2)+Mx+N 將左邊展開到右邊。

計算式子的展開。此為二次式的情況。 假設展開前的式子形式為 (ax+b)(cx+d)。 假設展開後的式子形式為 P*(x^2)+Q*(x^1)+R。（* 表示乘法） 請將 a、b、c、d 視為分數進行輸入。 請在分子與分母的輸入欄中輸入整數。 a、c 的分子請輸入非零數值。 a、b、c、d 的分母請輸入非零數值。 輸入與輸出均不支援帶分數形式。 不支援複數（虛部不為零的非實數）。

我們將進行連立方程式的計算。 在此，我們以x、y的二元連立方程式為例，探討乘法與加法的情況。 假設方程式的形式為： u=kxy+c m=ax+by 且係數k、a、b均不為零。

計算部分分數分解。 此處將探討「分子為常數、分母為一階式之分數式」分解為兩項的情況。 設式為： (Lx+M)/(x+P)(x+Q) = a/(x+P) + b/(x+Q) 將左邊按右邊進行部分分數分解。

我們來檢查二次方程式的判別式 D。 考慮二次方程式 ax² + bx + c = 0。 a、b 是係數，c 是常數項。假設 a ≠ 0。 在此，我們處理判別式 D 的數值為正，且為整數比的分數的情況。 針對求根公式中的根號部分 √D，檢查是否有可移出根號外的分子與分母。 此處指分子與分母皆為自然數的情況。（分子可為0） 檢查前的形式設為 √D。 檢查後的形式設為 k√E。 k 是移出根號外的分數。E 是保留在根號內的分數。

我們來展開這個式子。這是兩個以 x 為變數的多項式的乘積。 這裡我們將探討兩個二次式的乘積形成四次式的情況。 假設式子的形式為： (ax²+bx+c)(px²+qx+r)=k4x⁴+k3x³+k2x²+k1x+k0 。 將左邊的式子展開為右邊的式子。 係數k右側的數字是下標，其值與x的次數相符。

計算此式的展開式。展開後為七次式。 此式的形式為：左邊為　 k(x+a1)(x+a2)(x+a3)(x+a4)(x+a5)(x+a6)(x+a7) 右邊為未展開的 k(p7x^7 + p6x^6 + ･･･ + p1x^1 + p0x^0) 將 k 展開後： kp7x^7 + kp6x^6 + ･･･ + kp1x^1 + kp0x^0 將左邊展開至右邊。

列舉兩個自然數 x、y 的公因數。 設公因數為 t。

將三次式除以二次式。

探索線性方程式的特解。 範圍為整數。 方程式形式為 ax+by=c。

判斷置換的奇偶性。 此處以數字序列 12345678 的置換為例。 此為判斷 8 個字元的置換 σ 為偶數或奇數。 若為偶數，則 sgn(σ) = 1（一） 若為奇數，則 sgn(σ) = -1（負一） 並將 1、-1 作為判斷結果輸出。 可表示為偶數個互換乘積的置換稱為偶置換， 可表示為奇數個互換乘積的置換稱為奇置換。 若是偶置換，則判定為偶，並輸出 1。 若是奇置換，則判定為奇數，並輸出 -1。 置換的奇偶判定有時會用於行列式的定義。 請在輸入欄中輸入欲檢查奇偶性的數字序列（即對 12345678 進行置換後所得的數字字串）。 在置換的表示法中，這通常會寫在下段。 例如，若要判定將 12345678 置換（順序顛倒）後所得的 87651234 的奇偶性， 請依序輸入：輸入 1=8、輸入 2=7、輸入 3=6、輸入 4=5、輸入 5=1、輸入 6=2、輸入 7=3、輸入 8=4。 系統將輸出奇偶性判定結果。

用於電阻計校正的計算公式

本文將以《日經科學》2025年1月號特輯中，佐藤賢一撰寫的〈重新發現和算〉一文所提及的「算聖」關孝和的真實面貌為例，比較文中出現的圓弧平方近似公式與精確值，藉此檢視其精確度。不過，圓的直徑將固定為1。

估算小於或等於任意整數 x 的質數個數。 第一個結果為四捨五入後的數值，第二個結果則直接顯示計算結果

我們將進行與二元一次連立方程式相關的計算。 方程式的形式為： ax + by = e cx + dy = f 將兩式均變形為「y = ～」的形式，並在xy平面上以圖形方式思考時， 觀察這兩條直線是平行，還是重合於同一條直線上。 方程式的形式為： y=m1x+n1 y=m2x+n2 其中 n1、n2 為 y 截距。 m1、m2 為直線的斜率。若斜率相同，則兩直線平行。 此外，若 y 截距相同，則兩直線重合。 此處不使用逆矩陣，亦未採用基向量矩陣的掃出法。 首先消去 y，求得 x 後，再代入 y=m1x+n1 進行計算。 當直線不平行時，會輸出解 x,y。 不處理無解、不定解及任意常數的情況。 不處理複數（虛部不為 0 的非實數）。

cubicEquation 函數

設 a0 為首項、r 為公比的等比數列，其一般項為 an = a0*(r)^n 時， 請輸出 n=1..N（N<=40）時 an 的值

計算加權乘積平均。 資料集上限為 10 個。 輸入時，權重總和不一定要等於 1。 系統將計算並顯示權重重新分配結果，以確保總和為 1。 加權乘積平均的應用範例包括有效匯率等。 請將資料集中的各筆資料以分數形式輸入。 請將加權乘積平均以小數形式輸出。

針對兩個自然數 A 和 B，輸出有關求最小公倍數與最大公約數步驟的 數值。

此處使用連分數來計算圓周率的近似值。

對於連續的自然數 n0 到 n1， 檢查它們能否被三個自然數 a、b、c 整除， 並統計其次數。

當某個單位分數等於兩個單位分數之和時，求其分母。 此題與埃及算法相關。 這是單位分數分解的逆運算。 假設式子形式為 (1/A) + (1/B) = 1/C。（/ 為除法符號） 各分子的值皆為 1。 A、B、C 為分母。A、B 為已知數，C 則為待求的未知數。 A、B、C 皆為 2 以上的自然數。 A、B 為不同的自然數。

四次方程函數

計算小於 x 的素數個數。精確度不高。

立方方程式的公式

判斷置換的奇偶性。 此處以數字序列 1234567 的置換為例。 此為判斷 7 個字元的置換 σ 為偶數或奇數。 若為偶數，則 sgn(σ) = 1（一）； 若為奇數，則 sgn(σ) = -1（負一）； 並將 1、-1 作為判斷結果輸出。 可表示為偶數個互換乘積的置換稱為偶置換， 可表示為奇數個互換乘積的置換稱為奇置換。 若是偶置換，則判定為偶，並輸出 1。 若是奇置換，則判定為奇數，並輸出 -1。 置換的奇偶判定有時會用於行列式的定義。 請在輸入欄中輸入欲檢查奇偶性的數字序列（即對 1234567 進行置換後的數字字串）。 在置換的表示法中，這通常寫在下段。 例如，若要判定將 1234567 置換（順序顛倒）後所得的 7651234 的奇偶性， 請依序輸入：輸入 1=7、輸入 2=6、輸入 3=5、輸入 4=1、輸入 5=2、輸入 6=3、輸入 7=4。

計算分數式的通分。 假設分子與分母皆為 x 的一次式。 將通分前的形式設為： (mx+n)/(ax+b)+(px+q)/(ax+b) 假設通分後的式子形式為： (k0(x^2)+k1x+k2)/(t0(x^2)+t1x+t2) 。 不進行約分等式子整理，直接呈現原始形式。

當自然數 n 大於兩個不同的自然數 a、b 時， 我們將探討當以自然數 a 除以 n 時餘數為 Ra， 且以自然數 b 除以 n 時餘數為 Rb 的自然數中，其最大值與最小值為何。

計算導數的係數。 考慮對五次及以下多項式進行微分。（冪次為0以上5以下的整數。） 求一階導數與二階導數的係數。（係數取實數範圍）

求二次方程式 ax² + bx + c = 0 的解。 當根號移出式外使式子更簡潔時，結果會顯示在下半部分的分數中。

我們將進行式子的展開。 我們將探討四個一階式子的乘積。 式子的形式為： (ax+b)(cx+d)(ex+f)(gx+h)=k4x^4+k3x^3+k2x^2+k1x+k0 。 將左邊展開為右邊。

計算部分分式分解。 我們將探討分式分子為 x 的二次式、分母為兩個一次式乘積的情況。 設式為： (x^2+Lx+M)/(x+P)(x+Q) = a/(x+P)+(x+b)/(x+Q) 其中 x^2 的係數為 1。 將左邊代入右邊進行部分分數分解。

計算逆階乘。 針對 2 以上的自然數，找出滿足 x=n! 的數值。 將滿足 x=n! 的數值 n 設為 M， 並輸出滿足大小關係 L＜M＜H、L!＜M!＜H! 的 L、M、H 以及 L!、M!、H!。

估算小於 x 的質數個數。

輸出含有係數的三角函數數值表。 假設公式形式為： y0=a0*cos(n0*x) y1=a1*sin(n1*x) y2=a2*tan(n2*x)

計算正比式與反比式的交點。 假設方程式的形式為： y=ax y=b/x 其中，a、b 為不為零的實數。 此外，b/a 的數值設為 ≥ 0。 求交點的座標。

我們將對該式進行展開。 在此，我們將探討 x+a 的二項式乘以 n 次方。 將該式的形式定義為： k{(x+a)^n}=k{x 的多項式}=將 k 分配到各項的多項式

計算無理函數的切線。 假設無理函數的方程式形式為 y=k+a√x。 求切線方程式的係數與常數項。

現在要計算加權平均。 假設資料集共有 2 個。

計算此式的展開式。 此處假設展開後為二次式。 式子的形式為： P(x+a)(x+b)=P(j2x^2+j1x+j0) 將 P 分配後， =k2x^2+k1x+k0 將左邊展開至右邊。 字母 j、k 右側的數字為下標，其次數與 x 的次數相符。 (j0、k0 為常數項)

利用配方法變形二次函數。其二。

計算二次函數圖形與x軸所截線段的長度。 這即為拋物線（垂直於x軸）與x軸的交點之間，各交點間的距離。

進行對數式的變形。 假設變形前的式子形式為 log_a x。 假設變形後的式子形式為 r*log_a M。 在等式 log_a x = r*log_a M 中，考慮將左邊變形為右邊，並將係數 r 提取出來。 求此時的 M。

對數式進行變形。 將係數轉為底數的指數，並使其消去。

計算此式的展開式。 這是三個一階式的乘積。 設此式的形式為： (ax+b)(cx+d)(ex+f)=k3x^3+k2x^2+k1x+k0 將左邊展開為右邊。

精準度還不賴。

請列出三個自然數 x、y、z 的公因數。 設公因數為 t。

雖然市面上已有計算懸吊系統定位變化的程式，但價格昂貴，所以我試著自己做了一個。

執行分數簡化的逆運算。 目前，有兩個分數以等號相連， 假設其中一個分數的分子是未知的。 此時，將輸出該未知分子的數值。

此函式用於近似計算小於給定數的素數個數。n 越大，精度越高。

計算式子的展開。 此處假設展開後為三次式。 式子的形式為： P(x+a)(x+b)(x+c)=p(j3x^3+j2x^2+j1x+j0) 將 P 分配後： =k3x^3+k2x^2+k1x+k0 。將左邊展開至右邊。 字母 j、k 右側的數字為下標，其值與 x 的次數相對應。 (j0、k0 為常數項)

輸出含係數的餘弦數值表。 公式形式設定為： y0=cos(x); y1=a*cos(x); y2=cos(n*x); y3=a*cos(n*x)

現在要計算加權平均值。 假設資料集共有 5 個資料點。

繪製分式函數（一階/一階）的圖形。 假設式子形式為 y=g(x)/f(x)、g(x)=ax+b、f(x)=cx+b（a,c≠0）。

執行分數簡化的逆運算。 目前，有兩個分數以等號相連， 假設其中一個分數的分母為未知數。 假設所有已知數值均不為零。 此時，請輸出該未知分母的數值。

計算分數函數的變形。 此處假設分子與分母皆為一階式。

我們將計算二次曲線的平行移動。

計算傅立葉級數。請輸入函數 f(x)（範圍為 -L ≤ x ≤ L，週期為 2L），並透過積分求得係數。

對於正整數 n，將從 1 到 n 之間與 n 互質的自然數個數記為 φ(n)，稱為歐拉 φ 函數或托森特函數。

使用DKA法求解五次方程式。係數亦可為複數。

使用DKA法求解六次方程式。係數亦可使用複數。

探索斯特恩-布羅科特樹，並求出給定正實數的近似分數。

蘭伯特W函數是 z=w*exp(w) 的逆函數 w=W(z)。除了主解之外，還可計算至第k個解。 若為主解，請設 k=0。

計算阿克曼函數 Ack(m,n)。已知當 m 變大時，其結果會變成極其巨大的數。 遺憾的是，目前僅能計算至 m=4, n=2……（此網站的處理極限）

請使用拉格朗日插值法求解通過 n+1 個點（其 x 座標皆不相同）的 n 次多項式。 即使 n 小於 11 且無需輸入，也請輸入 0。

本文將比較兩套以計算圓周率聞名的公式：拉馬努詹公式與楚德諾夫斯基兄弟公式。 這兩套公式皆以收斂極快而聞名。

差為2的兩個質數稱為雙子質數。我們來計算這個雙子質數。

求佩爾方程（Pell's equation）X² - NY² = ±1 的最小整數解 (X, Y) 及其下一整數解。 此處 N 為非平方數的正整數。

請使用DKA法計算n次方程式 a(n)*x^n + a(n-1)*x^(n-1) + ... + a1*x + a0 = 0。 n的最大值為20。計算次數低於20的方程式時，請將多餘的高次係數設為0。 係數可使用複數。

將56翻轉成65，相加後便會變成121這樣的回文數。重複此類操作，例如57→57+75=132→132+231=363，僅需兩次即可變成回文數；89需24次，10911則需55次才能變成回文數。無論重複多少次都無法變成回文數的，便是Lychrel數。196是其中最小的候選數。

四元數

我們將檢視筑波大學高橋等人用於計算出精確度達2兆5769億8037萬位數的圓周率所採用的演算法——AGM法（高斯-勒讓德演算法，算術幾何平均法）。 以 a0=1, b0=1/√2, t0=1/4, p0=1 為初始值， an+1 = (an + bn) / 2 bn+1 = √(anbn) tn+1 = tn - pn * (an+1 - an)^2 pn+1 = 2*pn 據此， π≒(an + bn)^2 / (4*tn) 進行計算。

生成遵循泊松分佈 P(X=n) = exp(-λ)λ^n / n! 的隨機數。

使用二變數牛頓-拉夫森法，計算滿足 f(x,y)=0 及 g(x,y)=0 的 x 與 y。 同時也需要 ∂f／∂x、∂f／∂y、∂g／∂x 及 ∂g／∂y。

「合同數」是指所有邊長皆為有理數的直角三角形的面積，但， 我們將對此進行判定。請假設欲判定的數不含有平方因子（即無法寫成 n=q*k² 的形式）。 此處是利用坦內爾定理（Tunnell's theorem）進行判定的。

分割數 p(n) 是指自然數 n（不分順序）能以多少種不同的自然數之和（包含 n 本身）來表示？ 由於拉馬努詹與哈迪的電影《奇蹟帶來的公式》對此有大量著墨，因此為紀念該片上映， 我們將計算嚴格的分割數 p(n) 以及拉馬努詹-哈迪漸近公式。計算範圍上限為 n=250。

印度的弦理論研究者阿納布·普里亞·薩哈（Arnab Priya Saha）與阿尼達·辛哈（Aninda Sinha）在論文《弦理論振幅的場論展開》（Field Theory Expansions of String Theory Amplitudes）中推導出一個新的圓周率公式。我們將對此進行驗證。

質數判別

這是出自《通向天際的數字》（加藤文元、中井保行 著）一書中，關於佩雷利曼數列（即平方後會回到原數的數列）的計算。

n! 的末尾有多少個 0

Jesús Guillera 發現了一個能以驚人速度收斂的圓周率 Π 公式。我們來試試看吧。 與拉馬努詹的公式以及楚德諾夫斯基兄弟的公式相比較，或許會很有趣。

dx/dt=f1(x,y,z,w,t) dy/dt=f2(x,y,z,w,t) dz/dt=f3(x,y,z,w,t) dw/dt=f4(x,y,z,w,t) 將使用隆格-庫塔法（4階4步）來求解上述四變數常微分方程組。

西蒙·普盧夫（Simon Plouffe）在題為《π 及其冪的第 n 位十進位或二進位數的計算公式》的論文中，提出了計算圓周率 π 任意位數值的公式。我們將對此進行驗證。不過，本網站的計算上限為 50 位。

這是狄利克雷的ε函數。

針對實對稱矩陣進行數值對角化。 在此，我們將對一個三階實對稱方陣進行對角化。

尋找給定正實數開區間的近似分數。

利用高精度計算， Google Code Jam 2008 - Round 1A - Problem C. Numbers http://code.google.com/codejam/contest/dashboard?c=32016#s=p2 試著用硬功解法來解決這個問題。 由於在 n = 69 之前整數部分的精度有保證，因此，

可以計算球面三角形的面積。

計算三個三階方陣的乘積。 將三個三階方陣 A、B、C 的乘積， AB = A * B ABC = (A * B) * C 進行計算，並輸出結果。（從左至右相乘。）

實數的有理數近似

三角函數 sin(x)、cos(x) 與 tan(x) 的表格與圖表

將三維向量進行歸一化（正規化）。 假設要歸一化的向量 v 的分量為 v1、v2、v3。 設 v 的大小為 r。 假設歸一化後的向量 u 的分量為 u1、u2、u3。

計算二階方陣的平方根。 當給定一個二階方陣 M 時，求滿足 M=X² 的二階方陣 X。在此，我們將 X 稱為 M 的平方根。這相當於考慮一般數的根號運算（符號 √）。

進行與三階方陣相關的計算。 1) 輸出特徵方程的係數。特徵方程的形式設為 k0λ³ + k1λ² + k3λ + k4 = 0。 2) 計算子行列式的值。 3) 計算餘因子值。 4) 計算餘因子矩陣。 5) 根據薩拉斯圖計算行列式的值。 6) 若根據薩拉斯圖計算出的行列式值不為零，則計算其逆數。

將進行與四次方陣相關的計算。 在此將計算子行列式的值、餘因子及餘因子矩陣。 此外，程式會輸出作為參考輸入的四次方陣之行列式值及其倒數。

計算標量三重積。 假設 xyz 空間座標系為右手系。 將向量 b 與 c 的外積記為 bc。 計算 a 與 bc 的內積，並求得標量三重積的值。

計算三維向量的方向餘弦。 設向量為 a。起點為原點。

利用 a、b 和 cos 的值來求出 c 的值

我們來確認《費馬圖書館》中提到的以下內容： 利奧維爾證明了某個數的因數之因數具有以下性質： 1) 從一個數開始（例如 10） 2) 列出其因數（1,2,5,10） 3) 列出每個因數的因數個數（1,2,2,4） 4) (1+2+2+4)²=81=1³+2³+2³+4³

以下將推導四次多項式的係數。 設式為 k⁴*λ⁴ + k³*λ³ + k²*λ² + k¹*λ + k₀。

將二維向量歸一化（正規化）為單位向量。 假設歸一化前的向量 v 的分量為 v1、v2。 設向量的大小為 r。 假設歸一化後的向量 u 的分量為 u1、u2。

透過指定輸入1和輸入2，即可生成任意的畢達哥拉斯數。不過，必須滿足 m > n 的條件。

計算二階方陣的特徵方程式。 顯示特徵方程式的係數。 特徵方程式雖為二次方程式，但需計算判別式 D 的值。 此外，亦顯示判別式的平方根值。 輸出特徵方程式的解。 若為重根，則顯示兩個解。若判別式的值為 0，即為重根。

求二次函數的頂點。

進行四元數的運算。 計算兩個四元數 Q1 和 Q2 的絕對值、逆元，以及其積 Q1Q2 和 Q2Q1。

對於 y=1／(1+x^2) 以及圓的方程式，在 x=[0,1] 區間內的積分值皆為 π/4（1/4 圓），因此兩者相等。

將畢達哥拉斯數顯示於表格中

請輸入任意一個自然數 n。

a

我們將進行二階向量乘以旋轉矩陣的計算。 假設 A、B 為二維向量。 R 為二階方陣，且為旋轉矩陣。 計算 B = R * A。

計算三次特徵方程（特性方程）的係數。 由於要考慮三次正方矩陣的特徵值問題， 因此將從三行三列的行列式推導出特徵方程。 三次特徵方程的形式為： -(λ³)+m*(λ²)+n*(λ¹)+常數項。 最高次項（λ³）的係數維持為-1。 計算並輸出（λ²）項的係數、（λ¹）項的係數以及常數項。 特徵方程式的形式將以展開後的形式顯示。

進行與三階方陣相關的計算。 將列出三階方陣特徵方程的係數，並計算其解。 假設特徵方程的形式為 a(λ³) + b(λ²) + cλ + d = 0。 (1) 求三階方陣特徵方程的係數。 (2) 將各係數除以 λ 的最高次冪 (3) 之係數 (-1)，並顯示結果。 (3) 顯示特徵方程式的近似解。 (4) 作為驗算，顯示將近似解代入公式後的結果等。 (5) 當係數 b、c、d 為整數時，運用因式定理；若找到解，則顯示結果。

請輸入任意一個自然數 n。 不支援 16 以上的數字。

計算兩個向量 a、b 的內積的餘弦 cosθ 的值。

計算雙對數函數（Dilogarithm）的值。 可在 x∈(-∞,1] 範圍內進行計算。 當 x>1 時，Li(2,x) 不會是實數，且由於未實作此功能，因此會返回 0 作為錯誤。

我們將進行二階方陣與旋轉矩陣相乘的計算。 將二階方陣 A 與旋轉矩陣 P 的逆矩陣 Q 從右向左相乘，計算出矩陣 QA； 接著將旋轉矩陣 P 與 QA 從右向左相乘，計算出 QAP。 設 P 的元素為（Q 右側的數字代表行號與列號）， P11=cosθ P12=-sinθ P21=sinθ P22=cosθ （θ 為弧度）。

將四維向量進行歸一化（正規化）。 假設待歸一化的向量 v 的分量為 v1, v2, v3, v4。 設 v 的大小為 r。 假設歸一化後的向量 u 的分量為 u1, u2, u3, u4。

計算向量 a、b 的內積與餘弦 cosθ 的值。

計算三個四階方陣的乘積。 假設有三個四階方陣 A、B、C，首先計算 AB = A * B，接著計算 ABC = AB * C。 AB 和 ABC 也是四階方陣。輸出結果 ABC。（* 表示矩陣乘積）

計算 2 行 2 列的行列式。 此處處理以複數分數為元素的情況。 假設 a 是第 1 行第 1 列的元素。 假設 b 是第 1 行第 2 列的元素。 假設 c 是第 2 行第 1 列的元素。 假設 d 是第 2 行第 2 列的元素。 輸入時，請將 a、b、c、d 視為分數進行輸入。 a、b、c、d的分母應輸入非零數值。 a、b、c、d的分子與分母均應在複數範圍內輸入。

我們將計算二階方陣 x 上的二次式。 我們來探討由二階方陣構成的多項式。 這是關於二階方陣 x 的二次整式。 設式為 y = aL*x*x*aR + bL*x*bR + c。 (* 表示矩陣相乘的符號，+ 表示矩陣相加。 乘法是將右側的矩陣依序乘以左側的矩陣。) aL、aR、bL、bR、c、x、y 皆為二階方陣。

計算三個二階方陣的乘積。 將三個二階方陣 A、B、C 的乘積 AB=A*B ABC=(A*B)*C 進行計算，並輸出結果。（從左至右相乘。）

計算二階方陣的三次式。 設 y、x、aL、aR、bL、bR、cL、cR、d 為二階方陣。 式子形式為： y = aL * x * x * x * aR + bL * x * x * bR + cL * x * cR + d 此形式仿照「普通數」中關於 x 的三次式 y = ax³ + bx² + cx + d。 L、R 代表相對於 x 的冪次之左、右位置。 * 表示矩陣相乘，即左側矩陣乘以右側矩陣。 多個 * 運算的結合，即依序將右側矩陣乘以左側矩陣。 最後將各項相加。

我們將計算向量的正投影。

以下將推導特徵方程式的係數。 此處將探討五次正方矩陣的情況。 （五次的特徵方程式）

這是針對實對稱二階方陣的數值對角化方法。 由於是二階方陣且為對稱矩陣，因此可以省略「尋找絕對值最大的非對角元素」的步驟，使運算過程更為簡便。 此外，若將其轉換為『cos2θ與sin2θ』的一級方程式，週期也會被壓縮，從而改善二分法在區間搜尋與縮短時間方面的表現。 在縮小後的區間內進行牛頓近似。 精度方面，每次將區間分割數設為100，區間寬度設為0.1^15，牛頓近似則設為0.1^20。

計算四元數的n次冪。 設公式形式為 q=a+bi+cj+dk， y=q^n。 i、j、k 分別為各虛數單位。 a、b、c、d 分別為實部與各虛部。

這是 n 維球體體積的一般化

輸出行列式展開時的符號與下標。 此為五次行列式的情況。 列舉符號與元素的下標 n 及 σ(n)。 n=1,2,3,4,5。

顯示萊維-奇維塔符號的值。 此處設為 ε。 假設數字集合為 {1,2,3,4}。 當其被替換為由下標 t1, t2, t3, t4 構成的集合 {t1, t2, t3, t4} 時， 其值會因替換屬性（偶置換、奇置換或其他）而有所不同。 將 ε 的值與 t1, t2, t3, t4 並列列舉。 但僅將 ε=+1, -1 的情況輸出至表格，ε=0 的組合則予以省略。

顯示萊維-奇維塔符號的值。 此處設為 ε。 假設數字集合為 {1,2,3,4,5}。 當其被替換為由下標 t1,t2,t3,t4 構成的集合 {t1,t2,t3,t4,t5} 時， 其值會因替換屬性（偶置換、奇置換或其他）而有所不同。 將 ε 的值與 t1, t2, t3, t4, t5 並列列舉。 但僅輸出 ε=+1、-1 的情況，ε=0 的組合則予以省略。

顯示列維-奇維塔符號的值。 此處設為 ε。 假設數字集合為 {1,2,3}。 當該集合被替換為由下標 i, j, k 組成的集合 {i, j, k} 時， 其值會因替換是偶置換、奇置換或其他類型而有所不同。 將 ε 的值與 i, j, k 並列列舉如下。

輸出伽瑪函數的數值表。 請想像一個複平面。 伽瑪函數的輸入數值 s 取自複平面上的一條線段。 假設起點 P 的複數實部為不為零的正數。 終點點 Q 的複數實部亦假設為非零的正數。 將線段均分為 n 等份，並將起點設為第 0 個輸入、終點設為第 n 個輸入， 據此計算伽瑪函數的數值。 輸出格式為表格形式。

1. 定義與作用 sinc（辛克）函數是由 \(\frac{\sin (x)}{x}\) 所定義的函數。在通訊理論與訊號處理（採樣定理）中，這是為了平滑補間波形所不可或缺的數式。 2. 程式設計要點 避免除以零：當 \(x=0\) 時，數學上會出現 \(\frac{0}{0}\) 的情況，導致無法計算（發生錯誤）。採用極限值：由於數學上 \(\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sin (x)}{x}=1\)，因此在程式碼中使用 if 語句，當 \(x=0\) 時強制返回 \(1\)。 3. 行為特性：當 \(x=0\) 時，取最大值 \(1\)。隨著 \(x\) 逐漸遠離，數值會呈現波浪狀變化，並趨近於 \(0\)。

輸出行列式展開時的符號與下標。 此為四次行列式的情況。 列舉符號與元素的下標 n 及 σ(n)。 n=1,2,3,4。

輸出行列式展開時的符號與下標。 此為三次行列式的情況。 經整理後的形式被稱為「薩拉斯公式」。 列舉符號與元素下標 n 及 σ(n)。 n=1,2,3。

計算八元數的乘積。 此為計算兩個八元數 a、b 的乘積。

計算四元數對三次式的值。 Ln 是 x^n 的左側係數。 Rn 是 x^n 的右側係數。 M 是常數項。 計算積時，從左至右逐項相乘。 對於每個 n 次項，先將 x 從右向左乘入 Ln n 次，再從右向左乘入 Rn。 最後將包含常數項在內進行求和。 將此結果輸出為多項式的值。

計算四元數二次式的值。 假設式子形式為 y=(aL*x*x*aR)+(bL*x*bR)+c（* 為乘法符號）。 y、x、aL、aR、b 皆為四元數。 乘法運算依序從左至右進行。

計算四元數一階式之值。 設式為 y=aL*x*aR+b（* 為乘法符號）。 y、x、aL、aR、b 皆為四元數。 乘法運算依由左至右的順序進行。

平均分→標準分

將分數化簡。同時也會顯示最大公約數。（可包含假分數）

三年級第一學期目標評定

在 n 位數的自然數中，3 的倍數或含有數字 3 的數字出現的次數

將循環小數表示為分數形式。

將這三個分數化為同分母。

根據比例尺計算地圖上的長度與實際長度。（附單位換算）

這是用於留言板上的「！！」。

2014年大學入學共通測驗　數學II・數學B　第6題是一道關於階乘（N!）的質因數分解題。 我已將BASIC程式移植至自訂格式。

將兩個帶分數化為同分母。

f(x)=(ax+bP)/(bx+a)･･･基本式 　其中，a、b、P為正整數。a/b > √P 基本式的性質 1. √P=f(√P)･･･具有不動點 √P。 2. f(∞)・f(0)＝P ･･･當 x 為正整數時， 　　有理數 f(x) 在 f(∞) > f(x) > f(0) 的範圍內，會給出不動點的近似有理數。 3. 設 F1(x)=f(x)，Fn(x)=Fn-1(f(x))，則 Fn(x)=(Ax+BP)/(Bx+A)。Fn(x) 亦具有與 f(x) 相同的性質。 4. Fn(∞)－Fn(0) ＜ Fn-1(∞)－Fn-1(0) 　　……隨著 x→f(x) 的置換次數增加，對不變點的近似範圍便會縮小。 5. 當 b=1 時，基本式可變形為 f(x)=a－(a²－P)/(a+x)，且 Fn(x) 給出近似連分數。 利用上述性質，從簡單的基本式出發，透過反覆置換，導出更複雜的式子。 以 a=(√P 的整數部分) + 1, b=1 為起點，計算 Fn(x)=(Ax+BP)/(Bx+A)。

將兩個分數化為同分母。

這是位於京都伏見御香宮的算額題目。有甲、乙、丙三個正方形，其各面積之和為某個值， 甲的一邊的立方、乙的一邊的五次方與丙的一邊的七次方之和為某個值，此外，甲的一邊減去乙的一邊的值與 乙的邊長減去丙的邊長，結果相等。那麼甲、乙、丙的邊長分別是多少？註：甲＞乙＞丙。

計算函數 f(x) 的第一階導數與第二階導數，並繪製其圖形。

當你想查閱 cos、sin、tan 的值時。

設自然數 M、N 滿足 M > N，且兩者的最大公約數為 1。此時，針對分數 M/N，考慮以下 (i) 至 (iii) 的步驟： (i) 將 M 除以 N，商為 Q，餘數為 R。 (ii) 若 R > 0，則將 N 的值代入 M，接著將 R 的值代入 N，並回到 (i)。 (iii) 若 R=0，則結束。 利用此商序列，可寫成如下形式。

計算 y=ax² 的變化率與 y 的變域。請輸入 x 的變域（稱為定義域），並填入比例常數。 將顯示變化率，同時也會顯示「x、y 的增加量」。

我們來計算二次函數。 我們將二次函數置於xy平面上。假設x軸為橫軸，y軸為縱軸。 函數式形式為： y=f(x) f(x)=ax²+bx+c

計算二次方程式的「解與係數的關係」。 假設方程式形式為 ax²+bx+c=0 (a≠0)。將兩個解分別設為 α 和 β。 以下列出解的和與積。這些是基本的對稱式。

我們將進行與卡爾達諾公式相關的計算。 這是三次方程式的解公式。 過程中將輸出奇爾恩豪斯變量及變量轉換等內容。

顧名思義，它能進行加法、減法、乘法和除法運算

計算三次方程式的「解與係數的關係」。 設方程式形式為 ax³+bx²+cx+d=0 (a≠0)。 將三個解分別設為 α、β、γ。

計算二次方程式的「解與係數的關係」。 假設方程式形式為 ax² + bx + c = 0。將兩個解分別設為 α 和 β。 以下列出解的和與積。 這些即為基本對稱式。

進行除法運算。 假設 a≧b、a≧0 且 b>0。 將運算式的形式設為 a=(b*Q)+R。 Q 為自然數。 若求至個位數的商為 Q，則餘數為 R。

計算三次方程式的「根與係數的關係」。 設方程式形式為 ax³+bx²+cx+d=0 (a≠0)。將三個根分別設為 α、β、γ。

若以不同的速度往返同一段距離，其平均時速為何不等於兩者速度相加後除以二的數值呢？

我們將利用兩個複數 a 和 b，探究透過複數四則運算所導致的偏角變化。 偏角的單位採用度。 將四則運算後的複數設為 c。 此處所指的偏角變化，是指 a 的偏角經由四則運算後轉變為 c 的偏角時，其增減的數值。 (增減 = c 的偏角 - a 的偏角)

請以度為單位計算複數 z 的偏角 θ 的大小。 輸出結果應在 0 ≤ θ < 360 的範圍內。

這是利用萬進法來讀取大數的方法。一、十、百、千、萬、億、兆、京、垓……無量大數？

當給定一項函數的方程式時，求其y截距與x截距。

我們將探討複數相乘時偏角的變化。 設公式形式為 c = a * (b^n)。 此處所指的偏角變化幅度，即為 c 的偏角減去 a 的偏角。 偏角的單位採用度。 偏角 θ 的表示範圍為 0 ≤ θ < 360。

執行兩組比率差異的檢定。可用於 A/B 測試等分析。

本工具用於估算母變量信賴區間，藉此根據選舉出口民調的得票率來判斷候選人是否「當選已定」。 輸入樣本數（出口民調人數）、符合條件的人數（投票給某候選人的人數）、信賴區間的百分比（例如95%）以及估算方法（從Wald與Agresti-Coull中選擇），即可計算出信賴區間。 ※2020/6/24 已修正與 R 計算結果不符的問題。

執行兩組間差異的 t 檢定（無配對）。請分別輸入兩個樣本的樣本數、平均值及標準無偏方差，並輸入顯著性水準以及是否可假設方差相等（若不可，則採用 Welch 檢定）。

在進行兩個平均數之差的檢定時，若已知效應量（Δ=(μ1-μ2)/σ　平均數之差是標準差的幾倍？）與顯著性水準，則計算所需的樣本數n（n=n1=n2，分別代表各樣本數的意義）。　原假設：μ1＝μ2；至於備選假設，可選擇μ1≠μ2、μ1＞μ2、μ1＜μ2這三種。

將進行相關係數的檢定。資料數量上限為21筆。若為無效資料，請輸入0（而非留空）。 歸無假設為 r=r0；若 r0=0，則進行 t 檢定；否則，則採用 Fisher 的 Z 轉換進行正態分佈檢定。

求出在反覆嘗試中進行隨機選擇時的機率。

計算當資訊源產生兩種事件時，香農（Shannon）熵（平均資訊量）。 若想了解二值熵函數的回傳值，請務必參考！！ 簡而言之，這是用於計算 x*log₂(1/x) + (1-x)*log₂(1/(1-x)) 數值的函數。

可以計算出擲骰子x次後，連續擲出相同點數的機率。

在有限母體的非放回抽樣中，求出滿足指定條件的「樣本大小」。

隨機特典中可獲得的種類數量與購買數量之間的關係

將進行皮爾遜的χ²檢定（獨立性檢定）。共有 2 種屬性，每種屬性最多可輸入 8 個條件及 3 個條件。 請在不需要的資料欄位中填入 0。

進行一項均值檢定。（零假設：μ=μ0）　

求出在反覆嘗試中進行隨機選擇時的機率。

此計算工具適用於一般的「非配對兩組平均數之差的 t 檢定（非配對兩樣本 t 檢定）」。 同時顯示假設方差相等與非假設方差相等（Welch t 檢定）兩種情況下的結果。 此外，輸入變數使用標準差。 --- 公式參考了「統計WEB」（參見相關連結）。 其他使用者所製作的類似公式（參見相關連結）採用輸入不偏方差的形式， 但由於論文等文獻中通常記載的是（樣本）標準差， 因此本工具旨在讓使用者能立即核對論文中常見的無配對t檢定結果。 （2022/07/27製作 7/29更新）

以下將生日重合的機率繪製成圖表。眾所周知，在 N 人中出現 2 人生日重合的情況機率較高，但 當人數增加至 3 人、4 人……時，機率便會急遽下降。 計算公式採用的是 R 語言中 pbirthday、qbirthday 函數所使用的近似公式，即： Diaconis, P. and Mosteller F. 《研究巧合的方法》（Methods for studying coincidences）。《美國統計協會期刊》（J. American Statistical Association）

猜拳的綜合計算

在對單一母體平均值進行檢定時，若已知效應量（Δ=(μ-μ0)/σ　平均值的差是標準差的幾倍？）與顯著性水準，則可據此計算所需樣本量。　零假設：μ＝μ0；至於對立假設，則可選擇μ≠μ0、μ＞μ0、μ＜μ0這三種情況。

計算檢定力曲線（當兩個平均數之差為 μ1-μ2 時的 1-β）。可選擇三種情境：零假設為 μ1 與 μ2 相等；備選假設則分為 μ1 與 μ2 不相等、μ1 大於 μ2 以及 μ1 小於 μ2 三種情況。輸入樣本數 n1、n2、顯著水準 α 以及效應量 Δ（= (μ1 - μ2) / σ，即平均數之差為標準差的幾倍？）的最大值、最小值與區間數後，即可繪製檢定力曲線圖。

這是計算當連續擲b顆a面骰子c次時，出現相同點數的機率

n次掉落所需的嘗試次數。 x 代表在 n 次嘗試內成功掉落的比例，或是多次嘗試後出現 n 次的比例。 x 的數值越高，其可信度就越高。請參考那些有記錄掉落情況的人的數據。

計算 N 人中，有 k 人以上生日相同的機率。眾所周知，N 人中有 2 人生日相同的機率較高，但若增加至 3 人、4 人……，機率便會急遽下降。 計算公式採用的是 R 語言中 pbirthday、qbirthday 函數所使用的近似公式： Diaconis, P. and Mosteller F. 《研究巧合的方法》。《美國統計學會期刊》

中得頭獎彩票的機率是千萬分之一或五百萬分之一。 我試著根據後五位數的數字，計算出中得頭獎彩票的機率。

我試著計算了一張賀年明信片末六位數的中獎機率： 由於明信片是以十六進制表示的，因此選項自然也採用十六進制標示

這是專為統計學初學者設計的程式，用於計算「配對雙樣本 t 檢定」的 t 值與顯著性水準。

將進行皮爾遜的χ²檢定（適配度檢定）。最多可輸入8個條件的觀察頻數。輸入機率時亦可使用分數。若為無效資料，請輸入0。

計算檢定力曲線（單一平均數情況下的 1-β）。可選擇三種情境：原假設為 μ 與 μ0 相等；備選假設則包含 μ 與 μ0 不相等、μ 大於 μ0 以及 μ 小於 μ0 三種情況。輸入樣本大小、顯著性水準α、效應量Δ（即（μ－μ0）/σ，也就是平均數的差值是標準差的幾倍？）的最大值、最小值及區間數，即可繪製檢出力曲線圖。

計算單變量迴歸分析 (y=ax+b) 的迴歸係數 a、b（斜率與截距）之 t 檢定與信賴區間。資料上限為 21 筆。 請在不需要的資料欄位輸入 0（請勿留空）。計算時將以「零假設等於輸入的斜率與截距」為前提進行。

這是專為統計學初學者設計的程式，用於計算「獨立兩樣本 t 檢定」的 t 值、自由度及顯著性水準。

我設計的公式，用來計算你的食物殘渣弄髒暖桌被的機率： 梯形面積 × 機率 以此計算出機率

計算兩個常態分佈 X1、X2 的比值（商）X1/X2 的分佈。 當 X1 與 X2 的平均值為 0 時，其分佈為柯西分佈；若非如此，則情況會變得相當複雜。 （註）由於本文中的公式似乎有誤，已修正為另一篇論文（參見連結末尾）中的公式（2023/6/2）

這是專為統計學初學者設計的程式，用於計算「單樣本 t 檢定」的 t 值與顯著性水準。

在有限母體的非放回抽樣中，求出滿足指定條件的「誤差限」。

我們將實際模擬蒙提·霍爾問題。

進行 n％的嘗試 m 次後中獎的機率

此計算網站利用隨機數函數，可產生任意範圍內、任意數量之整數隨機數。

計算一門百發百中火炮與一百門百發一中火炮之間的砲擊戰。 將一門百發百中火炮視為A隊，一百門百發一中火炮視為B隊。 初始狀態下，A隊擁有一門火炮，B隊擁有一百門火炮， 並假設每回合雙方同時開火。 無論A隊或B隊，只要有一發命中，炮台數量就會減少一門。 （不考慮半毀、修理等因素，亦假設沒有增援） 因此，B隊每回合（發射後）必定減少一門炮台。 在下個回合，B隊將以剩餘的炮台數量，進行命中率1%的砲擊。 A隊若在發射後判定中彈，則炮台數量將歸零。

這便是俗稱「孔多塞陪審團定理」的正當性機率計算，市川憂人的小說《神與漣漪的密室》中也曾提及。若 p>0.5，群體的正確率將高於個體的正確率（更接近神的答案）；若 p<0.5，則群體的正確率將低於個體的正確率。當然，每位個體必須完全獨立地作答。

在有限母體的非放回抽樣中，求出滿足指定條件的「母體比例」。

求3人中有2人加入同一個社團的機率。

進行一次擲十面骰子的實驗。 將使用隨機數。 骰子的點數將是 0、1、2、3、4、5、6、7、8 或 9 中的任一數。

當你覺得「我已經抽了好幾次了，但完全沒中獎⋯⋯實際上裡面到底有多少呢？」時，請用這句話

求三人加入同一個社團的機率

3人分別加入3個不同群組的機率

計算考試分數的期望值。根據分數分配（即各題的分數）與總題數，計算出每題的分數，並據此計算出期望值以及最大值／最小值。

在有限母體的非放回抽樣中，求出滿足指定條件的「信賴率」。

計算在重複執行某項事件一定次數後，其總體發生機率

在有限母體的非放回抽樣中，求出滿足指定條件的「母體大小」。

擲一枚面數在 2 以上且不超過 100 的骰子。 設骰子的面數為 n。 在此，我們將透過等差數列為骰子的各面分配數字。 將首項對應於第 1 面，並設定至第 n 面的通項。 進行 10 次擲骰嘗試，並輸出擲出的點數。 預設為六面骰。

擲一枚六面不對稱的骰子。 這意味著允許各點數的機率變數設定不均等。 在此，我們為骰子的各面賦予「出現機率」， 並將各「出現機率」除以其總和，將機率變數的總和標準化為1。 若將相同的「出現機率」數值分配給骰子的所有面，即為一般的無歪斜設定； 若分配得不均等，則即設定為歪斜的骰子。

將白球和紅球放入袋中，取出一個並記錄其顏色， 再放回袋中，重複此操作。此過程使用隨機數。 每次放入袋中的數量均為一個以上， 且總數不超過十個。

請給予新的評級。

我們將進行擲四顆骰子的實驗。 此處使用隨機數。 由於每顆骰子的最小與最大點數皆可調整，因此骰子的面數也會 隨之改變。

進行六面骰子的模擬實驗。 在此，您可以自由為骰子的各面設定數值。 我們將使用隨機數來模擬擲骰子的過程。 實驗次數設定為 1 次至 12 次。

擲一枚 n 面骰子 12 次。 使用隨機數。擲出的點數為整數。 請先設定骰子的最小與最大點數， 輸入後按下「計算」按鈕進行試算。 將輸出 12 次結果。

我們將進行擲三顆骰子的實驗。 此處使用隨機數。 由於每顆骰子的最小與最大點數皆可調整，因此骰子的面數也會 隨之改變。

這是一個專為統計學初學者設計的程式，用於計算受試者間「單因子方差分析」的F值與顯著性水準。

產生複數隨機數。 在此假設實部與虛部皆為整數。 產生 10 個並輸出。

我們將進行擲兩顆骰子的實驗。 此處使用隨機數。 由於可以調整每顆骰子的最小與最大點數，因此骰子的面數也會 隨之改變。

95% 信賴區間

計算可能的數目。 考慮擲三顆可區分的骰子的實驗。 針對點數之和與積， 分別探討「落在整數 n₀ 至 n₁ 範圍內」的可能數目， 以及「能被某個自然數 d 整除」的可能數目。 以下內容僅供參考。

計算可能情況的數量。 在此，我們將探討當擲出兩顆可區分的骰子時， 點數之和與積落在何種範圍內，並計算其可能情況的數量。 該範圍由兩個整數決定。 下限設為 n0。 上限設為 n1。假設 n1 是 n0 以上的整數。

我們將計算所有可能的情況。 在此，我們考慮擲兩顆可區分的骰子的實驗。 針對骰子點數之和與骰子點數之積， 我們將計算能被某個自然數 n 整除的個數。

這是一個專為統計學初學者設計的程式，用於計算受試者內「單因子方差分析」的F值與顯著性水準。

這是一個專為統計學初學者設計的程式，用於計算受試者間「二因子方差分析」的F值與顯著性水準。

本節將探討(A+B+C)^n的展開式。此為三項式。 根據三項式定理計算係數，並列舉出來。 求出展開式中(A^a)(B^b)(C^c)項的係數。 小寫英文字母abc是代表大寫英數字ABC的指數。

我們將進行多項式定理的計算。 這裡將探討(A+B+C)^n的展開式。這是三項式。 我們將求出展開式中(A^a)(B^b)(C^c)項的係數。 小寫英文字母abc是代表大寫英數字ABC的指數。

將 13 張撲克牌洗牌。 假設現在有 13 張撲克牌。不考慮花色。 牌堆從上往下依序編號為 1、2、…、13。將其拿起， 從頂部切下 p 張，並移至剩餘的 13-p 張牌堆下方。 將此洗牌的次數設為 q。 顯示此操作。 [切牌次數]=0 代表牌堆的初始狀態。 (1)、(2)、…、(13) 代表牌的位置，分別為第 1 張、第 2 張、…、第 13 張牌。

產生複數隨機數。 此處不限制實部與虛部為整數。 產生 10 個複數隨機數並輸出。 （請注意輸出數值的末尾是否帶有虛數單位 i）

我們將進行一次擲兩顆可區分骰子的實驗。 在此，當從較大的點數中減去較小的點數時，我們將探討其結果為整數 n 的 情況有多少種。

95% 信賴區間（附加功能）

我們將計算條件概率。 有兩個箱子 A 和 B，每個箱子中都有一定數量的中獎券， 混雜在失獎券之中。 我們將隨機進行選擇箱子並抽取一張紙條的實驗。

我們將探討二項式定理。 計算並列舉根據二項式定理展開的式子中各項的係數。 求展開後 (A^a)(B^b) 項的係數。 其中 a、b 分別是 A、B 的指數。

輸出 nCr 的清單。

輸出 nCr、nPr、r! 的列表。

若輸入弧長（圓弧長度）L、弦長 d、弦高（圓弧高度）h 或半徑 r 中的任意兩項，並將其餘兩項設為 0（請勿留空），系統將計算出其餘兩項及中心角。本程式採用 L=r*θ、d=2*r*sin(θ/2)、h=r*(1-cos(θ/2)) 公式，並運用牛頓-拉夫森法進行計算。 ※已支援中心角大於 180° 以及存在兩個解的情況。 ※2026年1月 我們已重新製作了大幅改善設計與使用體驗的新版本。也請使用此版本。 https://sci.tea-nifty.com/blog/files/circlecalc.html

計算公式為： 距離 = √((x1-x2)² + (y1-y2)²)

這是一個計算橢圓周長的程式。 其原理是將半徑均勻劃分為 1000 個區段，找出每個區段的水平線與橢圓相切的點， 並計算這些點之間連線長度的總和…… 簡而言之，就是透過多邊形來獲得橢圓周長的近似值。 詳情請參閱下方連結。

當將紙張等薄材料塑造成漏斗形時，會計算出所需尺寸。

求圓周長。

求過點(a,b)、(c,d)、(e,f)的方程式 x²+y²+lx+my+n=0 中的 l、m、n，以及圓的圓心座標與半徑。

計算正多邊形的頂點。 若要整體旋轉，請在「角度偏移」欄位中輸入適當的角度（以度為單位）。

根據圓弧半徑與開角求出圓弧高度、圓弧長度及圓弧寬度

計算結果是修正根號後的結果。

根據橢圓的圓周長與其中一個半徑（無論是長軸半徑或短軸半徑皆可），計算出另一個半徑。 ※橢圓的圓周長可由長軸半徑 a、偏心率 k=sqrt(1-b^2/a^2) 以及第二類完全橢圓積分 E(k) 計算得出： L = 4a E(k) 為此，我們採用牛頓-拉夫森法來進行反向計算。

輸入橢圓的長軸半徑、短軸半徑及中心角後，即可計算出橢圓的弧長 L、弦長 d 及高 h。

根據長度、寬度及圓角半徑，計算圓角矩形的面積與周長。

這是用於討論區中「直線與點的距離公式……」的。

求解方程式 y=ax+b 與 y=cx+d 的交點

輸入三角形ABC的頂點座標後，即可計算出該三角形五心的座標（重心、內心、外心、垂心、旁心）。

只要知道一對對角線（的和），就可以使用布雷特施奈德公式（Bretschneider's formula）， 但這裡僅使用「長度資訊」。

橢圓的XY座標與距離

超橢圓（拉梅曲線） |x/a|^n + |y/b|^n = 1　(當 n=2 時即為普通橢圓) 計算其圓周長與面積。

y=(sqrt(cos(x))*cos(400*x)+sqrt(abs(x))-0.4)*(4-x*x)^0.1 是一條繪製心形圖形的函數（在 Google 圖形顯示中相當常見）。 將此函數擴展，繪製 y=(sqrt(cos(a*x))*cos(b*x)+sqrt(abs(x))-c)*(d-x*x)^e 的圖形。

根據圓弧長度與半徑，求出圓弧開角、圓弧高度及圓弧寬度。

我們知道正多邊形內角與內角之和。

這是一個能立即計算出「朗格利問題」及「整角四邊形」答案角度的工具。關於「朗格利問題」或「整角四邊形」，請在 Google 中搜尋「biglobe 朗格利問題」，並參閱「朗格利問題、整角四邊形 」一文。（因於2026年更換了服務供應商）此外，首頁名為「數學與高斯」。

根據中心角與弧長計算面積。

根據 3 個點來決定一條拋物線。 假設拋物線的軸是垂直的（與 y 軸平行）。 拋物線的方程式形式為 y = ax² + bx + c。 在此允許 a = 0 的結果。 若結果為直線，亦會輸出。

此為討論區「外接於圓角矩形的圓」專用。

此為討論區「關於兩條直線的距離」一文所用。

針對四面體 OABC，請根據已知的六條邊長計算其體積。

這是一道類似「該在何處切開胡蘿蔔才能使其體積減半？」的問題，也是求出將圓錐台二等分所需高度的計算公式。 若將胡蘿蔔視為圓錐（R1＝０），則只需從較粗的一端以1：4的比例進行分割即可。

當以垂直方向（平行於中心軸）切開半徑為 R、底角為 δ 的直圓錐時，求切面右側被切除部分（陰影標示之處）的體積 V。

利用兩邊和一個頂點來計算三角形的面積。

計算圓與直線的交點。 求交點的個數與座標。 交點的個數是根據實數平面 xy 來判斷的。 這取決於判別式。 交點的座標是連立方程式的解。 輸出結果將以複數形式呈現。 請務必仔細確認輸出欄末尾是否未附帶虛數單位 i。 圓的方程式形式設為： (x-a)^2 +(y-b)^2 =r^2 直線的方程式形式設為： lx+my+n=0

計算拋物線的座標

此為「切線與曲線」討論區專用。

利用兩條邊與外接圓的半徑來計算三角形的面積。

求圓的面積

計算拋物線與直線的交點。 我們在 xy 實數平面上進行討論。（y 軸為縱軸，x 軸為橫軸） 假設拋物線的軸是垂直的。 拋物線的方程式形式為 y = ax² + bx + c。 直線的方程式形式為 y = mx + n。 交點的個數可透過消去 y 變數後，根據二次式的判別式來判定。

關於初等幾何題目「整角三角形」，請在 Google 上搜尋「biglobe 蘭利題目」，並參閱首頁的「數學與高斯」一文。（因我在 2026 年更換了網路服務供應商）

若以一平面切斷半徑為R、底角為δ的直圓錐，且該平面與底面相切並以角度γ傾斜相交，請計算切面右側被切除部分（陰影標示處）的體積V，以及被切除後剩餘部分（切面左側，無陰影標示處）的體積Vu。

計算當以與底面成角度γ的平面，截取半徑為R、底角為δ的直圓錐時，截面右側被切除部分（陰影標示之處）的體積V。

計算橢圓的切線。 當將切線的斜率定為 m 時，求其方程式。 計算兩條切線方程式各自的常數項。 假設橢圓方程式的形式為標準形。

這是用來計算平行四邊形面積的程式

計算當以與底面成角度γ的平面，截斷半徑為R、底角為δ的直圓錐時，截面右側被切除部分（陰影標示之處）的體積V。此處僅處理截角γ與底角δ完全相等的情況，因此輸入的γ值原則上應與δ值相同。

計算當以與底面成角度γ的平面，截取半徑為R、底角為δ的直圓錐時，截面右側被切除部分（陰影標示之處）的體積V。

這是用來計算平行四邊形面積的程式

確定一條拋物線。 已知軸點位置為 p，且指定了兩個不同的點， 則確定一條通過這兩個點，且軸點位置為 x=p 的拋物線。 設拋物線方程的形式為 y=ax²+bx+c。 經由配方法變形後，方程的形式為 y=a(x-p)²+q。

這是用來計算正方形面積的程式

設點A的座標為(x1,y1)。 設點B的座標為(x2,y2)。 計算將線段AB按m:n比例內分的點的x、y座標。 計算將線段AB按m:n比例外分的點的x、y座標。

這是兩個胞體在擴展了二面角後的角度。

求長方形面積。

「朗格雷 B 型問題」。關於這一點，請在 Google 中搜尋「biglobe 朗格雷的問題」，並參閱首頁上的「數學與高斯」一文。（因為我在 2026 年更換了網路服務供應商）

求出從給定點到拋物線所作的切線方程式。 設拋物線的方程式形式為 y=ax²+bx+c。 將切點①的 x 座標設為 p1，y 座標設為 q1。 設切線①的方程式形式為 y=m1x+n1。 設切點②的 x 座標為 p2。設切點②的 y 座標為 q2。 設切線②的方程式形式為 y=m2x+n2。

計算橢圓的切線方程式。 橢圓的方程式採用標準形式。

計算橢圓與直線的交點。 橢圓為標準形式。 橢圓方程的形式為 ((x^2)/(a^2))+((y^2)/(b^2))=1。 直線方程的形式為 lx+my+n=0。

計算兩條拋物線的交點個數。 以xy平面為參考（y軸為縱軸、x軸為橫軸的實平面）。 假設拋物線①的方程式形式為 y = ax² + bx + c。 將拋物線②的方程式形式設為 y = lx² + mx + n。 兩條拋物線均垂直於軸。 係數與常數項皆為實數。 若存在交點，請計算其 x 座標與 y 座標。 若交點為 1 個，請輸出至輸出欄的 x1、y1。 若交點為 2 個，請同時輸出至輸出欄的 x2、y2。 本次不判定交點是交點還是切點。 此外，關於兩條拋物線是否相同（完全重疊）， 或軸的位置相同但頂點高度不同（上下平行）的判定， 其顯示結果將予以省略。

求以赫塞標準形式表示的兩條直線交點的 x、y 座標。 假設直線 1 的偏角為 θ。 假設直線 2 的偏角為 φ。 假設直線 1 的單位法線向量起點與原點的距離為 h1。 假設直線 2 的單位法線向量起點與原點的距離為 h2。 單位法線向量的方向為正，反方向為負。

計算沿著拋物線的折線長度。 考慮某個x座標區間，並將其均分為n等份。 針對該區間的起點、終點及中間的x座標， 計算拋物線的y座標，並將點(x,y)以折線連接， 計算此折線的長度。

拋物線由頂點的位置以及曲線經過的另一點所決定。 設拋物線的方程式形式為 y = ax² + bx + c。

計算沿著三次曲線的折線長度。 假設方程式的形式為 y=f(x)， 其中 f(x)= ax³+bx²+cx+d。 將起點的 x 座標至終點的 x 座標區間沿 x 軸進行分割，計算各區間的 f(x) 值，並以折線連接。 求此折線的長度。

已知關係式 x²+y²=a， 求方程式 x+y²=k 中，k 的最大值與最小值。 設 a 為不為零的正數。　

根據球的體積計算半徑。

當橢圓以極方程式表示時，將進行相關的計算。

我們將針對軸線傾斜的拋物線進行計算。